Подсказка 1

Давайте составим уравнение. Так как речь идёт о среднем возрасте, можно обозначить сумму возрастов взрослых за x, детей - за y, а количество детей через n. Теперь можем составить систему уравнений.

Подсказка 2

Пользоваться дробями нам не очень удобно, а так как ни одна из переменных не равна нулю, можем домножить уравнения на знаменатели дробей. Заметим, что одна из сторон обоих уравнений одинакова. Остаётся только приравнять другие стороны и выразить отсюда n

Подсказка 1

По своей сути задача геометрическая, а самая важная часть геометрической задачи – рисунок. Постройте график функции f(x) = 3 + 5/x и обозначенные прямоугольники. А теперь посмотрите, что за площади нас просят найти.

Подсказка 2

Каждый прямоугольник будет иметь вверху прямоугольную часть, которая принадлежит только ему. Как можно вычислить её площадь?

Подсказка 3

Как произведение сторон прямоугольника! У него одна сторона равна единице, а вторая разности значений функции в соседних натуральных аргументах. Только вот рассмотрите отдельно последний прямоугольник: у него одна из сторон лежит просто на оси абсцисс.

Подсказка 4

Остаётся только записать и вычислить сумму всех площадей. Поверьте, она удобно сворачивается!

Подсказка 1

Назовём общую вершину А, а вершины малого квадрата, лежащие на сторонах большого - B и C. Пусть движение происходит от В к С. Тогда моменты встречи в В определяют начало промежутка в 4 минуты, когда ребята бегут вместе. Как бы найти эти моменты времени для каждого мальчика...

Подсказка 2

Верно, нужно рассчитать, сколько времени потребуется каждому, чтобы добраться до точки В, а затем найти, за сколько минут они пробегут целый круг и вернутся в В. Если мы умножим время, за которое каждый из мальчиков пробегает квадрат на какое-то целое число, и добавим соответствующее время добегания до точки В, то сможем найти все моменты времени, в которые ребята оказывались в этой точке.

Подсказка 3

Получаем 1+3t=2k. Обратите внимание на чётность)

Подсказка 4

Верно, t может быть только нечётным. Иначе говоря, t=2m-1 при нечётном m. Надо только подставить m в начальное уравнение времени касательно t и найти, при скольких m оно меньше 1000. Это и будет количество 4-минутных встреч. И не забудьте прибавить 2 минуты, что ребята вместе пробежали в самом начале!

Подсказка 1

Давайте попробуем для начала ввести удобные обозначения для количества людей между Петей и человеком. Заметим, что Петя считал наименьшие расстояния до людей на окружности. Тогда что особенного с подсчётом на ней? Можем ли мы просто пронумеровать подряд людей, и это будет правильно?

Подсказка 2

Верно, когда мы считаем наименьшее число на окружности, например, по часовой стрелке, то при переходе через середину это число уже не будет наименьшим, потому что мы могли пойти против часовой и получить меньшее число. Значит, мы нумеруем людей через подсчитанные расстояния Пети до середины, а потом в обратном порядке. Учитывая, что всего чётное число людей, найти сумму этих расстояний, включая Васю не составляет труда. Чтобы воспользоваться дальнейшим условием задачи, что хорошо ввести?

Подсказка 3

Да, можно ввести то, что спрашивают у нас в задаче. То есть пусть всего людей было 2n, а подсчитанное расстояние до Васи это y. Тогда мы понимаем как записывается то, что посчитал Петя и чему оно равно по условию. Также можно написать условие для расстояния до Васи, снова учитывая, что мы считаем его на окружности. У нас получилась система, решив которую для натурального n, мы получим ответы на задачу.

Подсказка 1

Пусть точка О - выбранная нами. Обозначим расстояние от О до i-того дома за d_i. Какую сумму мы хотим минимизировать? Что интересного можно заметить среди коэффициентов?

Подсказка 1

Это задача на движение и скорости. Значит, здесь можно ввести достаточное количество переменных и тождественными преобразованиями/оценками получить всё, что нам нужно. Если расстояние до остановки, которая сзади Пети - x, а расстояние между остановками равно а (в момент того, как Петя увидел автобус), то нам надо понять, для каких а как надо поступать Пете, чтобы точно сесть на автобус.

Подсказка 2

Это зависит от неравенства со скоростями. Пете удобно бежать к задней остановке, если x/v ≤ (1 - x) / (4v), где v - скорости Пети. То есть когда расстояние до остановки сзади не больше 1/5. Попробуйте написать такое же неравенство, когда ему надо бежать к передней остановке и понять, как оба этих неравенства ограничивают а.

Подсказка 3

(a - x)/v ≤ (1 - x - a)/(4v). Остаётся только написать пример, когда это достигается, но это очевидно делается, если понять, когда в каждом нашем неравенстве достигается равенство.

Подсказка 1

Нам нужно доказать, что существует ученик, который взял достаточно много карандашей. Также есть условие про то, что в любой группе из 10 человек есть человек, который взял хотя бы 60 процентов карандашей из их группы. Это наталкивает на мысль упорядочить учеников по убыванию кол-ва взятых ими карандашей и доказывать что-то про ученика, который взял больше всех!

Подсказка 2

Давайте попробуем записать условие про группу из 10 человек, которые идут подряд по убыванию после нашего упорядочивания) Выйдет что-то вида x_k/(x_k + x_{k+1}+..+x_{k+9}) >= 0,6. Во что это можно преобразовать, чтобы получить оценку x_k через другой один x?

Подсказка 3

Например, можно получить что x_k >= 27/2 * x_{k+9}! Мы понимаем, что мы умеем оценивать x_1 через первые 10 иксов. А можем ли мы оценить теперь сумму вообще всех иксов через сумму первых десяти иксов?

Подсказка 4

Можем! С помощью нашего полученного неравенства) Остаётся только использовать обе эти оценки, чтобы получить оценку x_1 через сумму всех иксов, и станет понятно, что задача решилась!