Логарифмы на ПВГ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Логарифмы на ПВГ

Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Логарифмы на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80265

Решите неравенство

∘--------√----- ∘ --------√----- ( 17) 4x+ 1− 12 x− 2+ 4x+ 8− 16 x− 2 ≤log1∕4 x− 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Корень под корнем - не самая приятная вещь, давайте проведём замену t=√(x-2). Тогда x=t²+2. При подстановке в выражении выделяются полные квадраты, корни исчезают, и остаётся просто неравенство с логарифмом и модулями. Что мы можем сказать о возможных значениях t?

Подсказка 2

Конечно, из ОДЗ на x следует, что t больше 3/2. Давайте теперь посмотрим, как раскрываются модули при разных значениях t.

Подсказка 3

Верно, при t≤2 все t сокращаются. Тогда остаётся рассмотреть отдельно эти два случая (когда t сокращается и когда нет) и аккуратно найти объединение решений в каждом из случаев

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=√x-−-2, t≥0.$ Тогда сведем неравенство к следующему виду, предварительно собрав полные квадраты

( 17) |2t− 3|+ |2t− 4|≤ log14 x− 4

Так как $x> 174 ,$ то $t> 32.$

При $( ] t∈ 32;2$ получаем

( ) 1≤ log14 x− 17 , 4

откуда $x ∈(147;92]$

При $t> 2$ получаем

( ) 4t− 7 ≤log1 x− 17 4 4

Так как $t> 2,$ то левая часть уравнения больше $1.$ С другой стороны при $t> 2$ получаем , что $x> 6,$ а тогда $( 17) x− 4 >1$ и $( 17) log14 x− 4 <0.$

Ответ:

$(17;9] 4 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69993

Решите неравенство

ln(x2−2x) ln(π−3) (π − 3) ≤(2− x)

Источники: ПВГ-2017, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что правая и левая часть очень похожи скобочками. Какое свойство логарифма можно применить, чтобы сделать их еще более похожими?

Подсказка 2

a^(log_b{c})=c^(log_b{a}). После этого мы можем перейти к неравенству логарифмов, которое несложно решить)

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

{ 2− x> 0 { x< 2 2 ⇐⇒ ⇐ ⇒ x <0 x − 2x> 0 x< 0

Вспомним свойство логарифма:

logcb logab a = c

На ОДЗ неравенство равносильно

(π − 3)ln(x2−2x) ≤(π− 3)ln(2−x)

И так как $0< π− 3 <1$ , неравенство на ОДЗ равносильно

ln(x2− 2x)≥ln(2 − x)

Что в свою очередь равносильно

x2− 2x ≥2 − x

x2− x− 2≥ 0

x ∈(−∞; −1]∪[2; +∞ )

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

$(−∞; − 1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38686

Решите неравенство

(log √x+1)−1 2 log3x(x+ 1)− (x+ 1) cos5 < sin 5.

Источники: ПВГ-2016, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0,3x ⁄=1$ . Поскольку $(log √x+-1)−1 =2log cos5 cos5 x+1$ , то имеем

2 2 log3x(x+ 1)− cos 5< sin 5 ⇐⇒ log3x(x+ 1)<1

Если $x< 1 3$ , то равенство выполнено, иначе $x> 1 3$ и $x+ 1< 3x ⇐⇒ x> 1 2$ .

Ответ:

$(0,1)∪(1,+∞ ) 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#38134

Решите уравнение

∘----√- (1− log2x)⋅ logx2 x = 1

Источники: ПВГ-2016, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Осознав ОДЗ для этого уравнения, свернем скобку в один логарифм и подумаем, какого он знака.

Подсказка 2

Верно, он положительный в любом случае, а значит мы можем разделить на него левую и правую часть. 1 делить на логарифм - где-то мы это видели

Подсказка 3

Ну конечно, заметим, что у обоих логарифмов основание будет одинаковым, когда в правой части он преобразуется, а это наводит на мысль о замене логарифма на буковку, а потом о возведении в квадрат обеих частей. Будьте здесь аккуратны!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x >0 { x ⁄= 1 |( 2 √- logx∕2 x ≥0

На ОДЗ по свойствам логарифмов получаем уравнение

( 2) ∘ 1-----x--- log2x ⋅ 2 logx2(2 ⋅2)= 1

( ) ∘ -------- √ - − log2 x ⋅ 1+ logx2 2= 2 2

− ∘1+-logx-2= √2⋅logx 2 2 2

При замене $t=logx2 2$ после возведения в квадрат (не равносильный переход, а следствие, так что корни проверим) получаем

1+ t=2t2 ⇐⇒ t∈{1;− 1} 2

Обратная замена:

t=1 −→ x =2 ⇐ ⇒ x =4 2

1 ∘-2 1 t= −2 −→ x = 2 ⇐⇒ x= 2

После подстановки в исходное уравнение получаем, что $x= 4$ не подходит, а $1 x= 2$ подходит.

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38133

Решите уравнение

|| x||3 3 |log22| +|log22x| =28

Источники: ПВГ-2015, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Приведём логарифмы сразу к удобному нам виду по свойству и сделаем естественную замену логарифма на t. А дальше у нас модули... Неприятно. Рассматривать случаи точно не очень хочется, потому что это ещё кубы раскрывать, а промежутка три штуки. Давайте думать, как избавиться от модуля. Не можем ли мы сразу отсечь половину числовой прямой? Давайте внимательно посмотрим на сумму модулей слева.

Подсказка 2

Верно, видим, что если вместо t подставить -t, то из-за модуля и суммы ничего не поменяется. У нас просто поменяются местами слагаемые. Значит, найдя решение положительное, найдём и отрицательное. Но от одного модуля мы ещё не избавились до конца. Остался небольшой промежуток от 0 до 1 для осуществления нашей "мечты". А будет ли вообще выполняться равенство на этом промежутке?

Подсказка 3

Точно, левая часть будет просто меньше, чем правая. Нам это никак не подходит. Теперь осталось только решить кубическое уравнение, однозначно раскрыв скобки, и не забыть про нашу симметрию.

Показать ответ и решение

Пусть $log x= t 2$ , тогда

3 3 |t− 1| + |t+ 1| = 28

Заметим, что это выражение симметрично относительно $t ⇐⇒ −t$ , поэтому рассмотрим $t≥ 0$ и найдём решения. Если $t∈ [0,1)$ , то левая часть меньше правой, потому $t ≥1$ , получим

3 2 3 2 3 2 t − 3t + 3t− 1+ t +3t + 3t+ 1= 28 ⇐⇒ t+ 3t= 14 ⇐ ⇒ (t− 2)(t + 2t+7)= 0

Вторая скобка не имеет корней, потому остаётся только $t= ±2$ в силу симметрии, откуда $x = 4,1 4$ .

Ответ:

$4,1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#80052

Решите неравенство

loglog x log log x (log5x) 3 2 + (log2x) 3 5 > 2

Показать ответ и решение

ОДЗ данного неравенства $x> 1.$ На области допустимых значений равносильны переходы:

(log x)log3log5x > 1⇐ ⇒ (log2x− 1)⋅loglog x> 0⇐⇒ 2 3 5 (x− 2)⋅(log5x− 1)>0 ⇐⇒ (x− 2)⋅(x− 5) >0

Ответ:

$(1;2)∪ (5;+∞ )$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#71665

Найдите все значения $x$ , при каждом из которых выражения

(∘-----2- ) (∘ ----2-- ) log2013 1+ tg x+ tgx и log2012 1+tg x− tg x

равны друг другу.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на аргументы логарифмов! Что про них можно сказать?

Подсказка 2

Верно, можно заметить, что их произведение образует разность квадратов! Причем, разность этих квадратов равна 1. Тогда выразим один аргумент через другой, что можно сказать про них?

Подсказка 3

Да, в таком случае, если каждый из них не равен единице, то равенство логарифмов невозможно! Ведь, тогда один из аргументов меньше единицы, а второй больше единицы. Поэтому каждый из аргументов равен единице! Остаётся решить несложное тригонометрическое уравнение.

Показать ответ и решение

Заметим, что

(∘ ----2-- ) (∘----2-- ) 1+tg x+ tg x ⋅ 1+ tgx − tgx = 1

∘------- 1 1+ tg2x+ tgx = ∘1+-tg2x-− tgx

Тогда надо найти $x$ , при которых

( ) ------1------ (∘ ----2-- ) log2012 ∘1-+tg2x− tg x = log2013 1+ tg x − tgx

Это равенство возможно только при $∘ ------- 1+ tg2x − tgx= 1$ , так как если
$∘ ------- 1+ tg2x− tgx⁄= 1$ , то один логарифм будет неположительный, а другой — неотрицательный.

{ ∘1-+tg2x= 1+ tgx ⇐ ⇒ 1+ tgx ≥0 ⇐ ⇒ tgx= 0 1+ tg2x= 1+ tg2x +2tgx

Ответ:

$πn, n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#49596

Решите уравнение

|| 2 || 1 |log12(x)− 2|− |log2(x)+ 2|=2 log√12 x.

Источники: ПВГ-2013 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно приглядитесь к логарифмам. Может быть, у них больше общего, чем кажется на первый взгляд?

Подсказка 2

Давайте каждый логарифм приведем к log₂x и сделаем замену t = log₂x. Какого вида мы получили уравнение и как его можно решить?

Подсказка 3

Подобные уравнения можно решить, рассмотрев все возможные интервалы знакопостоянства модулей. Также не забудьте сделать обратную замену и проверить ОДЗ для ответа.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$

После замены $t= log2x$ получаем

|2t+ 2|− |t+ 2|=− t

Рассмотрим случаи

$t< −2$ . Все модули раскроются с минусами
$−2t− 2+ t+ 2= −t ⇐⇒ 0= 0$
Подходят все такие $t$ .
$− 2 ≤t< −1$ . Здесь
$−2t− 2− t− 2= −t ⇐⇒ t= −2$
$t≥ −1$ . В этом случае
$2t+ 2− t− 2= −t ⇐⇒ t= 0$

В итоге $t∈(−∞, −2]∪ {0} ⇐ ⇒ x ∈(0,14]∪ {1}.$

Ответ:

$(0,1]∪ {1} 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#48744

Выясните, какое из чисел больше:

lg2013 2013- 2lg2 или 2lg 2 .

Источники: ПВГ-2013, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, какие-то страшные десятичные логарифмы… Можно ли сказать чему примерно равно отношение десятичных логарифмов слева и десятичный логарифм справа? Может, мы сможем оценить каждое из чисел, используя, например: свойства перехода к новому основанию?

Подсказка 2

Да, если мы используем формулу перехода к новому основанию, то логарифм слева превратится в log ₂2023! А этот логарифм несложно оценить: log ₂1024=10 < log ₂2023 < log ₂2048=11. Тогда, число слева меньше чем 11/2! Осталось как-то поработать с логарифмом справа и задача решена!

Подсказка 3

А давайте просто посмотрим на аргумент правого логарифма! 2013/2 > 1000, поэтому lg2013/2 > lg1000=3. То есть, число справа больше чем 6.

Показать ответ и решение

Из возрастания логарифмической функции по основанию $10$ получаем оценку

2013 2lg 2 > 2lg1000= 6.

По формуле перехода так же оценим другое число

lg2013 1 1 11 -2lg2 = 2log22013< 2log22048= 2-< 6

В итоге

lg2013 < 6< 2lg 2013 2lg2 2

Ответ:

$2lg 2013 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#48740

Выясните, какое из чисел больше

log20122013 или log20132014.

Источники: ПВГ-2013, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На первый взгляд вообще не понятно, какое из чисел больше… Давайте поставим какой-то знак неравенства и будем его доказывать. Или потом поменяем, если получим неравенство в другую сторону

Подсказка 2

Всё равно не понятно, как доказывать такое неравенство... Так, а если перекинуть один из логарифмов в другую сторону? Нужно доказать, что произведение логарифмов с основанием 2013 меньше 1!

Подсказка 3

Воспользуемся для этого неравенством о средних! А именно, что среднее геометрическое не больше среднего арифметического. Дальше сумма логарифмов легко преобразуется по свойствам

Показать ответ и решение

По сути нам достаточно доказать такое неравенство

logk−1 k> logk(k+ 1)

при $k= 2013$ . Из-за того, что $k> 2$ , обе части неравенства положительны, так что по свойствам логарифмов оно эквивалентно:

logk(k+ 1)⋅logk(k− 1)< 1

Для положительных чисел можем воспользоваться неравенством о средних:

∘ ----------------- logk(k+1)+-logk(k-− 1) logk(k2−-1) logkk2 logk(k +1)⋅logk(k − 1)≤ 2 = 2 < 2 = 1

Итак, мы показали, что неравенство верно, первое число из условия больше.

Ответ:

$log 2013 2012$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#38132

Решите уравнение

( ( 2 )) log3(x+1)⋅log3(2x − 1)⋅ 3− log3 2x + x− 1 = 1

Источники: ПВГ-2013, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, конечно, запишем ОДЗ. Откуда сразу про одну из скобок понятно, что она больше нуля. Давайте обратим внимание на квадратный трёхчлен в логарифме. Попробуем его разложить и посмотрим, что получится. Какое тогда действие само напрашивается для упрощения нашей жизни?

Подсказка 2

Верно, у нас ведь будут одинаковые части с логарифмами, которые мы можем заменить, например, буквами a и b. Теперь не очень понятно, что с этим делать... Но будем думать с точки зрения того, что задачу нам дали решаемую, иначе как-то грустно. В итоге, у нас получилось уравнение с двумя переменными. Тогда раз мы знаем, что решение существует, как мы можем его решать?

Подсказка 3

Ага, мы ведь можем посмотреть на него, как на квадратное уравнение относительно b, и сказать, что дискриминант должен быть больше нуля. Решая неравенство на дискриминант, получим промежуток... Обидно. Мы надеялись, что значение выйдет какое-то одно, а получилось так. Но давайте не будем отчаиваться и попробуем доказать, что промежуток не подходит. У нас слева произведение скобок, а справа 1. Может быть получиться противоречие со знаком справа и слева у равенства? Исходя от а, попробуйте оценить х и посмотреть, что выйдет.

Подсказка 4

Верно, получилось, что тогда х больше или равен 80. Но отсюда оценкой выходит, что две скобки положительны, а последняя отрицательна. А справа 1. Победа! Осталось только найти х при единственном а и сделать проверку.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x+ 1> 0,2x− 1> 0 ⇐⇒ x> 1 2$ . Из ОДЗ $x +1 >1$ , то есть $log (x+ 1)> 0 3$ . Пусть $log(x+ 1) =a >0,log (2x− 1)= b 3 3$ , тогда получим

2 2 ab(3 − a− b)=1 ⇐ ⇒ ab + (a − 3a)b+ 1= 0

Это квадратное уравнение относительно $b$ , напишем дискриминант, который должен быть неотрицателен

4 3 2 2 2 Db = a − 6a + 9a − 4a= a(a − 1)(a − 5a+ 4) =a(a− 1) (a − 4)≥ 0

Поскольку $a> 0$ , то имеем $a∈ {1}∪[4,+∞ )$ . Если $a≥ 4$ , то $x+ 1≥ 34 ⇐ ⇒ x ≥80$ . При этом $log3(2x − 1)> 0$ , но $3− log3(2x2+ x− 1)≤3 − log3(802 − 1)< 0$ , поэтому произведение не может быть положительным. То есть может подойти только $a =1 ⇐⇒ x =2$ , остаётся его подставить и проверить, что равенство выполнено.

Ответ:

$2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#33906

Решите уравнение

( )∘ -2-------- 3log|5x−3|2 ⋅log2|5x− 3|− x 5x − 9x+ 4= 0.

Источники: ПВГ-2011 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| |5x − 3|> 0 { |5x − 3|⁄= 1 |( 2 5x − 9x +4 ≥0

На ОДЗ по формуле перехода для логарифмов уравнение эквивалентно совокупности

2 3− x= 0 или 5x − 9x+ 4= 0

Решение первого уравнения $x= 3$ удовлетворяет условиям ОДЗ, а из решений второго $x= 45,x= 1$ только один корень входит в ОДЗ.

Ответ:

${1;3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#71666

Положительные числа $b,b,b,b ,b 1 2 3 4 5$ составляют геометрическую прогрессию. Сумма логарифмов по основанию $3$ от этих чисел равна $10.$ Найдите эти числа, если

log3b1⋅log3b5 =3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, что числа образуют геометрическую прогрессию! Поэтому все числа можно выразить через первый член прогрессии. В таком случае, что можно получить из условия того, что сумма логарифмов по основанию 3 от этих чисел равна 10?

Подсказка 2

Да, мы получим, что произведение первого члена и знаменателя прогрессии равно 9, а еще можно выразить первый член прогрессии через её знаменатель. Теперь воспользуемся вторым условием! Можно ли найти с помощью него знаменатель прогрессии?

Подсказка 3

Да, можно! Будем пользоваться свойствами логарифма и преобразовывать выражение. Тогда мы найдем знаменатель прогрессии и уже через него все члены последовательности!

Показать ответ и решение

Пусть $q$ — знаменатель прогрессии. Так как члены прогрессии положительные, то $q > 0$ . Тогда члены прогрессии: $2 3 4 b1, qb1, qb1, qb1, q b1$