Уравнения и системы на ОММО —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения и системы на ОММО

Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Уравнения и системы на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79602

Про действительные числа $a,b,c$ известно, что

{ ac− 2= 9b2; 3bc− 2= a2

Найдите все значения, чему может быть равно $ab$ .

Источники: ОММО - 2024, задача 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на нашу систему и попробуем найти какие-то паттерны. Заметим, что и сверху, и снизу у нас коэффициент перед членами с a и b, равен 3(или 9, когда возвели в квадрат). Да и свободный коэффициент один и тот же. Что же тогда надо сделать?

Подсказка 2

Надо вычесть второе из первого. После чего, слева мы получим c(a - 3b), а справа (3b - a)(3b + a). Значит, разложили на скобочки. Значит, либо c = 3b - a, либо а = 3b. То есть, мы выразили одну переменную через другие. Что мы обычно делаем в таком случае?

Подсказка 3

Верно, мы подставляем наше выражение вместо этой переменной и решаем уже полученную систему. Остается сделать это, понять, какой случай возможен, какой нет, и чему равно искомое ab.

Показать ответ и решение

Вычтем из первого уравнения второе.

(a− 3b)c= (3b− a)(3b+ a)

(a− 3b)(c+ a+ 3b)= 0

[ c= 3b− a a =3b

В первом случае подставляем $c= −3b− a$ в систему и получаем

9b2+ 3ab+ a2+ 2= 0

( )2 3b+ a + 27b2+2 =0 2 4

что невозможно.

Во втором случае подставляем $a= 3b$ в систему и получаем

2 9b − 3bc+ 2= 0

или же

a2− ac +2= 0

c= a+ 2 a

Если $a= 0,$ то $b= 0$ — не подходит под первое уравнение системы.

Рассмотрим любое $a⁄= 0.$ Тогда $c= a+ 2 a$ и $b= a 3$ , то есть любая тройка вида $(a,a + 2,a) a 3$ является решением системы. Искомое выражение $ab= a2 3$ может принимать любое положительное значение.

Ответ:

$(0,+ ∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63743

Дано действительное число $t$ , отличное от $0,1,− 1,1 2$ и $2.$

Решите уравнение

(x2 − x +1)3 (t2 − t+ 1)3 -x2(x-− 1)2-=-t2(t−-1)2--

Ответ может зависеть от $t.$

Источники: ОММО-2023, номер 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте представим, что мы раскрыли скобки и избавились от знаменателей, что мы получим?

Подсказка 2

Мы получим уравнение 6-й степени! А значит, у него точно не больше 6 корней. Тогда есть соблазн попробовать угадать эти 6 корней...

Подсказка 3

Легко видеть, что t - корень. Какие замены можно попробовать сделать, чтобы найти ещё немного корней?

Подсказка 4

Левая дробь не меняется при замене x на 1-x и на 1/x, поэтому получаем новые корни, какие? Попробуйте набрать как можно больше.

Подсказка 5

Теперь лишь остаётся доказать, что при данных ограничениях на t шесть корней, которые вы нашли, всегда различные.

Показать ответ и решение

Докажем два утверждения:

если $x 0$ - решение уравнения, то и $1 − x 0$ также решение; действительно,

( ) (1− x0)2− (1− x0)+1 3 (x20− x0+ 1)3 -(1−-x0)2((1−-x0)− 1)2 =-x2(x0−-1)2- 0

поэтому если второе равняется $2 3 (tt−2(tt−+11))2$ , то и первое - тоже.

если $x0$ - решение уравнения, то и $1x- 0$ также решение; действительно,

( )3 (1∕x0)2− (1∕x0)+ 1 (x20− x0+1)3 -(1∕x0)2((1∕x0)− 1)2-=-x20(x0−-1)2-

поэтому если второе равняется $2 3 (tt−2(tt−+11))2$ , то и первое - тоже.

Заметим теперь, что $t$ - точно корень исходного уравнения. Тогда, корнями являются также числа $1∕t,1− t$ , а тогда и $11−t,1− 1−1t = t−t1,1− 1t = t−t1$ .

Можно показать, что при данных ограничениях на $t$ получившиеся 6 чисел - различны. Кроме того, исходное уравнение при $x ⁄=0,x⁄= 1$ равносильно уравнению 6 -й степени, которое не может иметь больше 6 корней. Значит, найденные числа и есть все корни.

Ответ:

$t,1,1 − t,-1,-t-,t−1 t 1− tt−1 t$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63741

Решите систему уравнений

{ x10+ x10+ ...+ x10=310 x133+ x233+ ...+ x9323=333 1 2 92

Источники: ОММО-2023, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу понимаем, что, скорее всего, эта система "нормально" не решается. У нас два уравнения с кучей неизвестных. Но одно из решений мы сразу угадываем — это один из x равен 3, а остальные 0. Давайте поделим обе части первого уравнения на 3¹⁰. Как тогда можно оценить каждое из слагаемых?

Подсказка 2

Ага, тогда понятно, что каждое из слагаемых не превосходит единицы, так как степень у них чётная. Значит, для любого 1≤k≤92 получаем, что |x_k/3|≤1. Не забываем про модуль, так как извлекаем корень из чётной степени. Но раз у нас число меньше 1 то, что можно сказать о нём при возведении в степень?

Подсказка 3

Верно, тогда это число в 33 степени меньше, чем в 10. Теперь, учитывая это, попробуйте записать неравенство для второго и первого уравнения, используя неравенство с модулем. Выходит, что возможен только случай равенства |x_k/3|³³ = |x_k/3|¹⁰ для данных k.

Показать ответ и решение

Заметим, что

( x1)10 (x2)10 ( x92)10 3 + 3 +...+ 3 = 1

Тогда для каждого $1≤k ≤92$ имеем $|xk| |3-|≤1,$ откуда

|x |33 |x |10 ||k3|| ≤ ||k3||

Окончательно получим

|( ) ( ) ( ) | 1= ||| x1 33+ x2 33+ ...+ x92-33|||≤ 3 3 3

≤ |||x1|||33+ |||x2|||33+ ...+|||x92|||33 ≤ 3 3 3

| | | | | | ≤ ||x1||10+ ||x2||10+ ...+||x92||10 = 3 3 3

= (x1)10+ (x2)10+ ...+ (x92)10 =1. 3 3 3

Значит, для каждого $k$ выполнено

||xk||33 ||xk||10 |3| = |3|

откуда

xk ∈ {−3,0,3}

Отсюда несложно получаем, что тогда один из $x k$ равен $3,$ а все остальные равны $0.$

Ответ: одна из переменных равна 3, все остальные равны 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#71525

Решите в действительных числах систему уравнений:

(| a+ c= 4 |||{ ac+ b+d =6 | |||( ad+ bc =5 bd= 2

Источники: ОММО-2022, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами система с 4 неизвестными, в которой, если начать выражать всё последовательно, ничего хорошего не выйдет. Давайте немного повспоминаем, где такая конструкция встречается? Возможно, вы этим занимались в алгебре.

Подсказка 2

Ага, если вспомнили, то отлично. Если нет, то ничего страшного. Попробуйте перемножить два приведённых трёхчлена с коэффициентами a, b, c и d и привести подобные слагаемые. Не видите сходств? Какой вывод отсюда можно сделать?

Подсказка 3

Да, нам по сути сказали коэффициенты многочлена 4 степени! Видеть такое вы могли в методе неопределённых коэффициентов как раз для уравнения 4 степени. Теперь вы можете попробовать найти очевидные корни этого многочлена и разложить его на скобки. Теперь осталось понять главное. Для чего вы всё это делали?

Подсказка 4

Точно, для того, чтобы понять, что корни будут единственными. Вы могли и просто так угадать a, b, c и d, но о единственности ничего утверждать не могли. Осталось только сопоставить наши изначальные квадратные трёхчлены с тем, что получилось в итоге, и победа!

Показать ответ и решение

Пусть $x2+ ax+ b$ и $x2 +cx+ d$ — два квадратичных многочлена, коэффициенты которых — искомые корни данной системы. Тогда

( 2 )( 2 ) 4 3 2 x + ax+ b x + cx +d = x + (a +c)x +(ac+b+ d)x +(ad+bc)x +bd=

4 3 2 = x +4x + 6x +5x+ 2

Из делителей свободного коэффициента $2$ находим корни $− 1$ и $− 2$ , тогда можно поделить многочлен на $(x+ 1)(x+ 2)=(x2+ 3x +2):$

x4+ 4x3 +6x2+ 5x+2 =(x2+ 3x+ 2)(x2+ x+ 1),

что возможно только в двух случаях:

{ { x2+ax +b= x2+ 3x+2 x2 +ax+ b= x2+ x+1 x2+cx+ d= x2+ x+ 1 или x2 +cx+ d= x2+3x +2

тогда в первом случае получаем $a= 3,b= 2,c= 1,d =1,$ а во втором — $a= 1,b=1,$ $c= 3,d= 2.$

Ответ:

$(3,2,1,1),(1,1,3,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#77810

Решите систему уравнений

{ 12x2+ 4xy+ 3y2+ 16x= −6 4x2 − 12xy+ y2 +12x− 10y =− 7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что уравнения представляют из себя многочлены степени 2 от двух переменных и не понимаем, что с ними делать. Самое простое и приятное - попытаться выделить полные квадраты. Нам дана система, поэтому можно пробовать комбинировать 2 уравнения, как нам удобно.

Подсказка 2

Подсказка, если не догадались, как скомбинировать уравнения: нужно сложить первое*(3) и второе! И дальше уже магия выделений квадратов, у вас все получится!

Показать ответ и решение

Сложим первое уравнение, умноженное на $3$ , и второе. Получим,

2 2 40x +10y + 60x − 10y = −25

после деления на $10$ и преобразований, получаем: $4(x+ 3)2+(y− 1)2 = 0. 4 2$ Сумма двух квадратов может равняться нулю только в случае, когда каждый из этих квадратов равен нулю. Поэтому, ничего кроме $x= − 3,y = 1 4 2$ не может являться решением нашей системы.

Для окончания решения необходимо проверить, что найденные числа подходят:

{ 12⋅(− 3)2+4 ⋅(− 3)⋅ 1+ 3⋅(1)2+ 16⋅(− 3)= −6 4⋅(− 34)2− 12 ⋅(− 43)⋅2(1) +122⋅(− 3)− 104⋅ 1= −7 4 4 2 4 2

Ответ:

$x =− 3,y = 1 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#49483

Решите систему уравнений

(| x2 = (y− z)2− 3; { y2 = (z− x)2− 7; |( 2 2 z = (x− y) + 21.

Источники: ОММО-2018, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

хм, пока не очень понятно, что можно сделать с этими уравнениями, а давайте попробуем перенести квадрат разности в другую часть и естственно применить разность квадратов.

Подсказка 2

заметим, что множители в наших трех итоговых уравнениях частично совпадают! // для удобства можно заменить их на a, b, c. тогда у вас есть ab, bc и ac, а надо найти каждое по отдельности, для этого помогло бы узнать abc, например!

Показать ответ и решение

Перенесём в каждом уравнении квадрат разности в левую части и применим формулу для разности квадратов:

(| (x− y +z)(x +y− z)= −3 { (y− z +x)(y +z− x)= −7 . |( (z− x +y)(z +x− y)= 21

Обозначим $X = −x+ y+ z,Y = x− y+ z,Z =x +y − z$ . Тогда

(| YZ =− 3 { ZX =− 7 |( XY = 21

Перемножая все получившиеся равенства, имеем $(XY Z)2 = 3⋅7⋅21$ , откуда $XY Z = 21$ или $XY Z =$ -21. Разберём случай $XY Z = 21$ . В нём $X = (XY Z)∕(Y Z)= −7,Y = −3,Z = 1$ ; тогда $x= Y+2Z-=$ $− 1,y = −3,z = −5$ . Второй случай разбирается ан алогично и в нём $x =1,y = 3,z =5$ .

Ответ:

$(−1,−3,− 5),(1,3,5)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31173

Решите в действительных числах систему уравнений

(| x+ y+ 2− 4xy = 0; { y+ z+2 − 4yz = 0; |( z+ x+ 2− 4zx= 0.

Источники: ОММО-2017, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Везде одинаковая структура прям, всё симметрично, в этот момент должно появиться желание вычесть одно из другого. Что именно? Да всё подряд!

Подсказка 2

Да, после попарного вычитания (т. е. из (1) вычли (2), из (2) - (3) и тд) получаем произведения, равные нулю. Может ли, например, 1-4z равняться нулю? Почему?

Показать ответ и решение

Попарно вычтем уравнения друг из друга, получим:

(| x+ y− 4xy− y− z+ 4yz =0 (| (x − z)(1− 4y)= 0 { y+ z− 4yz− z− x+ 4zx =0 ⇐⇒ { (y − x)(1 − 4z)= 0 |( |( z+ x− 4zx− x− y+ 4xy =0 (z − y)(1− 4x)= 0

Пусть любая из переменных равна $1∕4$ — выберем $x$ в силу симметрии, тогда из первого уравнения системы $1∕4+ y+ 2− y = 0$ - неверно, то есть все переменные не равны $1∕4$ , откуда сразу же $x =y =z$ , снова подставим в первое уравнение системы (пользуемся симметрией) и получим $2x2− x− 1= 0=⇒ x= 1±3 =− 1,1 4 2$ , откуда и получим ответ.

Ответ:

$(−1∕2,− 1∕2,−1∕2),(1,1,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#36910

Решите систему уравнений:

{ x2− xy+ y2 =19; x4+ x2y2 +y4 = 931.

Источники: ОММО-2016, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вы тоже это заметили? Сначала написали x²+y², а потом стало x⁴+y⁴, сначала было ху, стало (ху)² -> делаем замену!

Подсказка 2

Да, двойная замена: сумма квадратов - это а, произведение - b. Чтобы получить второе уравнение, достаточно записать a²-b². Когда станет известно, чему равны а и b, сделаем обратную замену.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $2 2 2 u= (x +y) = x +y + 2xy,v = xy$ , тогда система эквивалентна:

{ u− 3v =19 2 2 (u − 2v) − v = 931

{ u= 3v+19 (v+ 19)2 − v2 = 931

{ u= 3⋅15+ 19 v = 15

Обратная замена:

{ (x+ y)2 = 64 xy = 15

По обратной теореме Виета решения системы удовлетворяют одному из уравнений: $t2± 8t+15= 0$ , решая которые получаем ответ.

Второе решение.

Пусть $x= y$ , тогда $2 4 x = 19,3x = 931$ — решений нет, если же $x= −y$ , то $2 4 3x = 19,3x = 931$ — также нет решений, далее $x ⁄=±y$ , тогда:

{ 2 2 { 3 3 (x+2 y)(x2 −4xy+2 y2)= 149(x +y)2 2 ⇐⇒ x6 +y6= 19(x +y) (x − y )(x +x y + y) =931(x − y ) x − y = 19⋅49(x− y)(x+ y)

{ x3+ y3 = 19(x+ y) { x2 − xy+ y2 = 19 { (x +y)2 = 64 ⇐ ⇒ x3− y3 = 49(x− y) ⇐⇒ x2 +xy+ y2 = 49 ⇐⇒ (x − y)2 = 4

Откуда $x+y = ±8,x − y = ±2$ , далее в каждом из четырёх случаев получаем ответ.

Ответ:

$(3;5),(−3;−5),(5;3),(− 5;−3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#49482

Решите систему уравнений

{ 26x2 +42xy+ 17y2 = 10; 10x2 +18xy+ 8y2 =6.

Источники: ОММО-2015, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

О, две формулы, похожие на квадраты суммы! Только коэффициенты какие-то лютые...

Подсказка 2

Если 26 и 10 или 17 и 8 вычесть, то получится квадрат. Да и если сложить, вообще-то тоже! Так давайте сложим и вычтем уравнения системы

Подсказка 3

Не забываем, что когда квадрат равен какому-то положительному числу, возникает два случая!

Показать ответ и решение

Складывая и вычитая два уравнения системы, получаем, что исходная система эквивалентна следующей:

({(6x+ 5y)2 = 16 2 ((4x+ 3y) = 4

Откуда получаем 4 возможных случая

{ { { { 6x +5y = 4 6x+ 5y =4 6x +5y = −4 6x+ 5y = −4 4x +3y = 2 4x+ 3y =− 2 4x +3y = 2 4x+ 3y = −2

Решая каждую из этих систем, находим 4 ответа: $(−1,2),(− 11,14),(11,−14),(1,− 2)$ .

Ответ:

$(−1,2),(− 11,14),(11,−14),(1,− 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#47250

Найдите все решения уравнения

2 2 2 (y(x− 1)) +(x− 1) +y + 1− 4y|x− 1|= 0.

Источники: ОММО-2014, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Заменим $t= |x − 1|≥ 0$ , а также перепишем уравнение в виде

2 2 (y + 1)(t +1)= 4yt

Как известно $a2+ 1≥2|a|$ , при этом $a2+ 1= 2|a| ⇐⇒ |a|= 1$ , откуда

2 2 4yt= (y + 1)(t + 1)≥ 4|yt|=4t|y|

и равенство достигается тогда и только тогда, когда $|y|=|t|= 1$ , при этом $|y|= y$ , поскольку иначе $4yt⁄=4t|y|$ . Получаем $y =1,|x − 1|= 1 ⇐ ⇒ x ∈{0,2}$ .

Ответ:

$(0;1);(2;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31195

Решите систему

{ tg2x+ ctg2x= 2sin2y; sin2y +cos2 z = 1.

Источники: ОММО-2013, номер 5, (см.olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте внимательнее посмотрим на первое уравнение. Слева квадраты обратных чисел, справа максимум 2. Вспомним, что a + 1/a >= 2! То есть у нас должно достигаться равенство двойке.

Подсказка 2!

Попробуйте использовать это и получить теперь условия на sin(y), tg(x), cos(z)!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Вычтем из обеих частей первого уравнения число $2 =2tgx⋅ctg x$ и оценим обе части

2 2 0≤ (tgx − ctgx)= 2(sin y− 1)≤ 0

равенство может быть только в случае

2 2 0= (tgx − ctgx)= 2(sin y− 1)= 0

Таким образом, система из условия сводится к

(| tgx= ctgx { sin2y = 1 |( 1+ cos2z = 1.

Решая каждое из уравнений, приходим к ответу:

(| x= π+ πk,k∈ ℤ { y = 4π+ π2n,n∈ ℤ |( z = 2π+ πt,t∈ ℤ. 2

Второе решение.

В первом уравнении системы правая часть не превосходит $2$ в силу области значений синуса, а левая часть по неравенству о средних для двух положительных (ни квадрат тангенса, ни квадрат котангенса не могут быть равны нулю, иначе один из них будет не определён) чисел не меньше $2tgx⋅ctgx = 2.$ При этом должно достигаться равенство. Это возможно тогда и только тогда, когда $sin2 y = 1$ и $tg2x= ctg2x =1.$

С учётом полученного второе уравнение системы равносильно $cos2z = 0.$

Итого $x = π+ πk,k∈ ℤ 4 2$ , $y = π+ πn,n∈ ℤ 2$ и $z = π+ πt,t∈ ℤ 2$ (здесь важно писать разные буквы для целых параметров, иначе у переменных появляется дополнительная линейная зависимость, которой быть не должно).

Ответ:

$(π + πk;π +πn;π +πt); n,k,t∈ ℤ 4 2 2 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#77811

Решите систему

(| -xy-= 1; |{ x+yzy ||( y+xzz = 2; x+z = 3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, что мы можем здесь сделать. Если не брать правые части уравнений, то выражения симметричны относительно переменных, которые в нем содержатся(хотя это вовсе не значит, что система симметрична). Это значит, что мы можем каким-то образом привести наши уравнения к нужному виду так, чтобы наши выражения относительно каждой из переменных были симметричны(то есть, на данный момент у нас в левой части каждого уравнения находится некоторое выражение, которое зависит и от x и от y(к примеру), а мы хотим, чтобы слева была сумма двух структурно одинаковых выражений, каждое из которых зависит только от одной переменной, ведь тогда мы сможем, сделав замену, просто-напросто решить линейную систему и все). Как это можно сделать?

Подсказка 2

Попробуйте перевернуть каждую из дробей слева и написать систему в виде (x + z)/xz = 1/3. Как тогда можно по-другому написать каждое из наших выражений слева, чтобы получилась сумма, структурно одинаковых выражений?

Подсказка 3

Верно, нужно расписать каждую дробь, как сумму обратных к переменным. Тогда, у нас получится система линейных уравнений на три переменных, которую мы умеем решать.

Показать ответ и решение

"Перевернём" каждое из уравнений системы: