Обозначим радиус шара через радиус основания конуса через а высоту конуса — через Тогда объём конуса равен

Объём шара

Отношение этих объемов равно

Можно считать, что верхняя точка шара находится на поверхности воды, иначе воды выльется ещё меньше.

Из подобия прямоугольных треугольников и имеем

Возведем равенство в квадрат, получим

Значит, отношение объёмов равно

где Максимум этой функции достигается в вершине параболы, то есть при и составляет

Заметим, что максимум достигается при при этом

Пусть — центр описанной окружности треугольника , лежащий на — центр сферы. Очевидно, — середина . Так как точки и лежат на сфере, перпендикулярно плоскости . С другой стороны, и — это одна и та же прямая, а перпендикулярна плоскости . Значит, плоскости и параллельны, а тетраэдры и подобны.

Пусть — длина , то есть высота маленького тетраэдра. Высота большого тетраэдра равна , а коэффициент их подобия .

- прямоугольный треугольник с прямым углом , значит, радиус описанной окружности треугольника , то есть , равен

Как известно, среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет равносторонний. Для окружности радиуса эта площадь составляет

Значит, объемы тетраэдров составляют

и

а их произведение равно

Чтобы максимизировать эту величину, достаточно максимизировать

В первой точке достигается минимум, равный нулю, а во второй — максимум. Подставив в формулу для объёма, получим

За будем обозначать плоскость, проходящую через точки , и

Возьмем на прямой такую точку , что . Тогда

На прямой же возьмем точку такую, что . Получается, что плоскость Тогда лежит в плоскости . пересекает плоскость основания по прямой (), параллельной

Пусть . Тогда , . Треугольник будет правильным (есть 2 угла по ), т.е. .

т.к. это 2 угла с параллельными сторонами.

Рассматриваем треугольник . . Подставляем найденные значения.

Минимум выражения слева достигается при и равно . Тогда

Сначала необходимо заметить, что кратчайшее расстояние между двумя расположенными на сфере точками по ее поверхности это длина меньшей дуги, проходящей через эти две точки окружности, центр которой совпадает с центром сферы. Отсюда сразу следует первая оценка на радиус сферы: он не может быть меньше, чем В противном случае длина самой большой окружности, расположенной на сфере, меньше, чем , и длина ее меньшей дуги будет меньше, чем что противоречит условию задачи.

Обозначим радиус сферы за ее центр обозначим буквой Рассмотрим две произвольные точки пусть длина дуги равна отметим, что Из сектора и треугольника имеем:

Из этой формулы следует, что периметр треугольника равен:

Рассмотрим функцию одной переменной:

Тогда что положительно при так как
Обратим внимание, что все три слагаемых, входящих в периметр, являются такого сорта функциями, при этом радиус не может быть меньше, чем 5 и, следовательно, величина во всех трех слагаемых принадлежит полуинтервалу Поэтому периметр треугольника является возрастающей функцией параметра и, следовательно, задача сводится к следующей: найти минимальный радиус сферы, на которой могут быть расположены точки удовлетворяющие данным из условия задачи.
Обоснование того, что минимальный радиус равен состоит из двух тезисов. Во-первых, на сфере радиуса расположить три точки в соответствии с условием задачи можно: достаточно взять экватор сферы, его длина равна что равно сумме данных в условии расстояний. Берем произвольную точку на этой окружности, проходим по часовой стрелке расстояние отмечаем точку B, проходим еще отмечаем точку
Во-вторых, на сфере радиуса, меньшего чем 6, точки расположить не получится. Чтобы это доказать, проведем аналогию с глобусом. Представим себе, что точка это северный полюс планеты радиуса 6. Тогда геометрическим местом точек кратчайшее расстояние от которых по сфере до точки равно будет параллель-«экватор», а геометрическим местом точек кратчайшее расстояние от которых по сфере до точки равно будет параллель в южном полушарии. Максимальное расстояние между точкой с «экватора» и точкой с «южной» параллели как раз равно и будет достигаться в случае, когда эти точки расположены на противоположных меридианах. Любые меридиональные смещения одной из точек, очевидно, уменьшат расстояние между ними. Попытка уменьшить радиус сферы-планеты приведет к тому, что параллели, на которых лежат точки и сместятся ближе к южному полюсу, и максимальное из расстояний между точками с этих параллелей (которое по-прежнему достигается в случае их расположения на противоположных меридианах) уже будет менее, чем Итак, минимально возможный радиус сферы равен 6, откуда получаем ответ:

Рассмотрим тетраэдр удовлетворяющий условию задачи. Заметим, что по условию для любой высоты данного тетраэдра справедливо неравенство где — радиус вписанной сферы, то есть

Пусть — площадь грани, на которую опущена высота Докажем, что Предположим противное. Выберем грань минимальной площади (если таких граней несколько, то берём любую из них). Без нарушения общности можно считать, что её площадь равна (иначе можно ввести переобозначения). Так как не все равны между собой и - наименьшая из них, то

Выразим объём тетраэдра двумя способами:

Отсюда что противоречит неравенству

Итак, все равны, поэтому все равны, так как Обозначим за длину этих равных высот. Из приведённого выше соотношения для объёма получаем то есть неравенство обращается в равенство. Но это возможно только в случае, если высота содержит центр сферы и точку касания с гранью (и так для каждой высоты).

Пусть - основание высоты тетраэдра, опущенной из точки Тогда совпадает с точкой касания сферы и грани Пусть тогда по теореме о касательной и секущей По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника получаем

Аналогично получаем такое же выражение для остальных рёбер тетраэдра, следовательно, они равны между собой, то есть тетраэдр правильный.

Докажем, что при пирамида правильная. Пусть стороны треугольника равны 1. Заметим, что в любом треугольнике с углом против этого угла лежит средняя по длине сторона (причём если она строго меньше одной из сторон, то строго больше другой). Пусть одно из боковых рёбер пирамиды не равно 1: например, . Тогда в гранях и рёбра и будут меньше 1, и значит, в грани ребро — не средняя сторона, противоречие.

Покажем теперь, как построить неправильную пирамиду с плоскими углами при вершине .

Первый способ. Сначала боковое ребро удаляем, а неудалённую боковую грань вращаем вокруг её ребра основания , пока эта грань не окажется в плоскости основания так, что будет содержать треугольник основания. В процессе движения будут «текущие» пирамиды, у которых два равных плоских угла сначала равны , потом больше (в момент, когда вершина проектируется в вершину основания — поскольку в этот момент синус угла при вершине в боковых гранях и равен , а в грани равен отношению боковой высоты этого треугольника к , которая меньше 1), а в конце у «вырожденной» пирамиды они равны . Значит, в силу непрерывности, будет ещё раз .

Второй способ. Рассмотрим треугольник c и . Так как , на стороне существует такая точка , что . Теперь возьмем трёхгранный угол, у которого все плоские углы равны , и отложим на его ребрах отрезки , , . Пирамида — искомая.

Третий способ. Пусть — правильная пирамида с плоским углом при вершине . Пусть , — точки, такие, что , построим на треугольники и так, что , , , тогда понятно что . В силу теоремы синусов для этих треугольников имеем

что влечёт , поскольку синусы смежных углов равны. Пусть теперь — такая точка на продолжении отрезка за точку , что . Тогда , , и , тогда , откуда , и значит (по трём сторонам). Из всех указанных равенств треугольников следует, что у пирамиды все плоские углы при вершине равны , значит она удовлетворяет условиям задачи. Но она не правильная, поскольку прямая не перпенидикулярна , и на ней только одна точка проецируется в центр треугольника , это точка , а значит не точка .

Пусть и — середины ребер и соответственно. Из соображений симметрии ясно, что ребрами и отрезками линия, о которой идет речь в условии задачи разбивается на 8 равных. Поэтому достаточно рассмотреть точки, принадлежащие треугольнику .

Пусть - одна из таких точек. Тогда кратчайшим путем между и служит отрезок , а кратчайшим путем между и - двухзвенная ломаная , вершина которой принадлежит ребру (в случае имеем просто отрезок . На развертке тетраэдра объединение граней и представляет собой ромб , а ломаная - отрезок в нем. Условие означает, что лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ; следовательно геометрическим местом точек служит отрезок , где - середина ребра (и середина отрезка ) - точка на отрезке , (см рисунок).

Найдем длину отрезка . Легко видеть, что , а отрезок , будучи средней линией треугольника , имеет длину . Поэтому

Умножив это число на 8, получим ответ к задаче:

а) Зона покрытия — часть сферы, лежащая внутри конуса. , где — высота сегмента. , здесь угол — угол между радиусом ОГ и линией ОА, соединяющий центр сферы с центром окружности, которая является линией пересечения сферы и конуса.

Тогда площадь равна

б) Пусть О — центр сферы, В — точка касания первой и второй окружности, А и их центры этих окружностей, — точки пересечения радиусов со сферой. Обозначим — угол между ОЗ и ОВ. Тогда

В правильной пирамиде О плоские углы при вершине равны двугранный угол при ребре О3 равен Опустив перпендикуляры из точек и на ребро О3 в точку H, треугольники О и О равны (по трем сторонам), т.к. две стороны равны а третья

Пусть корабль находится в некоторой точке Рассмотрим правильный октаэдр описанный возле шара радиуса с центром в точке Докажем, что путь заведомо позволит достигнуть граничной плоскости.

Предположим противное. Тогда вершины октаэдра, а значит, и сам октаэдр (выпуклая оболочка его вершин) лежат строго внутри полупространства. Поэтому вписанный шар октаэдра, радиус которого равен тоже лежит строго внутри полупространства. Получаем противоречие, так как по условию расстояние до граничной плоскости полупространства равно

Покажем теперь, что длина пути меньше Пусть — высота пирамиды Запишем ее объём двумя способами:

Отсюда получаем, что а длина ребра октаэдра равна Поэтому длина пути равна так как

Пусть - середины рёбер соответственно. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что и - параллелограммы. Они вписаны в окружности, являющиеся сечениями сферы плоскостями и , поэтому эти параллелограммы - прямоугольники. Угол — прямой; прямые и перпендикулярны, так как

Отметим в плоскости точку такую, что а точки и лежат по разные стороны от прямой (треугольник может быть получен из треугольника поворотом вокруг прямой

Из равенства треугольников и следует, что основания их высот, опущенных на — это одна и та же точка (назовём её Плоскость перпендикулярна (так как поэтому Поскольку и то плоскость перпендикулярна и

Значит, диагонали четырёхугольника пересекаются под прямым углом (в точке ). По теореме Пифагора

Следовательно,

Из прямоугольного треугольника находим

Радиус сферы, описанной около пирамиды , не меньше радиуса окружности, описанной около грани . Пирамида, для которой достигается равенство, существует. Докажем это.

Рассмотрим сферу радиуса и окружность - её сечение, проходящее через центр сферы. В сечении сферы указанной плоскостью получится окружность с диаметром , в которую можно вписать прямоугольный треугольник . По теореме косинусов из треугольника находим, что

По теореме синусов

Фиксируем момент времени

• — положение муравьёв в момент .
• — проекция точки на диагональ .
• — скорость движения Гоши, — скорость Леши.

Тогда имеем

Наконец,

Движение закончилось, когда последняя скобка занулилась, то есть при . Относительно функция является квадратным трёхчленом с положительным коэффициентом при . Вершина находится в точке . Отсюда .

Рассмотрим и . Тогда для произвольной ( получается из поворотом на относительно ). Но отсюда нам надо найти минимум , который достигается только при и будет равен , то есть

Пусть - середина и - медианы равнобедренных треугольников и , a значит, биссектрисы и высоты. То есть . Значит, отрезок перпендикулярен плоскости , следовательно, . Таким образом, лежит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (обозначим эту плоскость через ). Сечение цилиндра этой плоскостью - окружность, а является хордой этой окружности. Тогда радиус цилиндра минимален, если диаметр. Отметим, что это возможно в силу того, что отрезки и длиннее, чем . Действительно, из треугольников и следует, что .

Рассмотрим тетраэдр, в котором является диаметром цилиндра. Возможны 2 случая: точки и лежат по одну (этот случай представлен выше) или по разные стороны плоскости .

Пусть - проекция точек и на плоскость . Угол , так как он вписан в окружность и опирается на её диаметр. в силу равенства треугольников и . Тогда . По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках и соответственно: .

Тогда, если точки и лежат по одну сторону от плоскости , то . Если точки и лежат по разные стороны от плоскости , то .

Доказано, что 𝐴𝐵 – диаметр цилиндра наименьшего радиуса – 2 балла; если при этом не проверено, что точки 𝐶 и 𝐷 могут лежать на боковой поверхности такого цилиндра (например, можно доказать, что треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐵𝐷 остроугольные; можно сделать, как в решении), то 1 балл вместо 2;

найдены оба значения 𝐶𝐷 – 3 балла;

найдено только одно значение 𝐶𝐷 – 1 балл вместо 3.

Обозначив точку пересечения с плоскостью через , получим . В пересечении сферы с плоскостью получается некоторая окружность. Проведём через диаметр этой окружности. Тогда и — хорды сферы, и по свойству пересекающихся хорд: . Так как , то минимальный радиус окружности больше или равен и значение достигается при , то есть центр этой окружности. Так как , то При этом Значит,

Опустим перпендикуляры из точки на плоскости и соответственно. Обозначим , , Согласно условию составим систему уравнений

Отсюда находим , , Обозначим длины рёбер , и через и соответственно.

Лемма:

Доказательство: Введём систему координат с началом в точке как на рисунке. Запишем уравнение плоскости .

Так как плоскость не проходит через начало координат, то . Значит можно поделить на . Получим:

Теперь поставим в уравнение плоскости точки, в ней лежащие, чтобы найти коэффициенты , , . Итого получим, что , , . А значит уравнение плоскости

Подставив туда координаты принадлежащей этой плоскости точки , получим Лемма доказана.

Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для трёх переменных получаем:

причём равенство имеет место при Объём пирамиды поэтому Равенство имеет место при , ,

Сумма площадей поверхностей многогранников, на которые разбивается параллелепипед сечениями, равна сумме площади поверхности параллелепипеда и площадей внутренних поверхностей. Сумма площадей внутренних поверхностей равна удвоенной сумме площадей сечений.

Найдем наибольшую возможную площадь сечения, проходящего через диагональ произвольного параллелепипеда с ребрами . Сечением является параллелограмм , вершины которого лежат на противоположных рёбрах параллелепипеда. Площадь параллелограмма равна произведению длины диагонали на расстояние от точки до .

Рассмотрим проекцию параллелепипеда на плоскость, перпендикулярную диагонали . На рисунке видно, что расстояние от точки ломаной до точки , то есть до диагонали , наибольшее, если совпадает с одной из вершин или .

Значит, сечение проходит через одно из ребер параллелепипеда. Таким образом, наибольшую площадь имеет одно из диагональных сечений. Все эти сечения являются прямоугольниками. Найдем наибольшую из их площадей

Из условия следует, что, , и . Поэтому и . Значит, наибольшую площадь имеет сечение, проходящее через наибольшее ребро. По условию наибольшую длину имеет ребро , значит, наибольшую площадь имеют сечения и .

Сумма площадей поверхностей многогранников, на которые разбивается параллелепипед этими сечениями (см. рисунок), равна

Площадь боковой грани , по условию, не меньше С другой стороны, она равна

Следовательно, , т.е. перпендикулярно . Аналогично получаем, что и перпендикулярно и . Поэтому объём пирамиды равен

(a) У нас есть 2 грани со стороной 2, но вместе с 2 треугольник может образовать только 4 и 5?!

(b) У нас есть 2 грани со стороной 2. Вместе с 2 треугольник может образовать только 4 и 5 или 11,1 и 13. Значит противоположная сторона равна 9. Пусть нам дан тетраэдр и , , . Тогда и по неравенству треугольника для сторона . Значит последняя сторона . По формуле Герона площадь равна . Тогда если высота в этом треугольнике, то . По теореме Пифагора и . Отсюда следует, что лежит на отрезке

Аналогично, , высота в этом треугольнике длиной , , Значит, лежит на луче за точку . Отсюда

Вспомним, что у нас есть такое неравенство на

Оно выводится так: спроецируем всё на плоскость, перпендикулярную пусть — проекция , — проекция , — проекция и . Так как и перпендикулярны , то и Значит, проекция на эту плоскость длиной от до , а проекция на прямую это Значит,

Подставим числа и получится, что так как , а , то

Пусть у некоторой правильной пирамиды известно боковое ребро . Давайте посчитаем при какой дине стороны основания пирамиды будет обладать наибольшим объемом.

Теперь это функция от . Возьмем производную по . Она зануляется при и в этой точке производная меняет свой знак с + на -. Значит это точка максимума и объем максимальный при .

Вернемся к задаче. Пирамида, вершинами которой служат точки касания и центр сферы, является правильной треугольной пирамидой с ребром . Значит, чтобы объем был максимальным, нужно добиться того, чтобы сторона ее основания была .

Из точек и проведем перпендикуляры к , в силу симметрии они попадут в одну точку .

По доказанному ранее и при этом . Значит , но тогда угол прямой, а его нам и нужно было найти.

Пусть высоты из вершины на грань , а из вершины на грань . Тогда так как тетраэдр правильный, то и пересекаются на стороне в tt середине . Пусть . Тогда

Поскольку равносторонний, то .

Так как , то

Функция достигает максимуму при и может быть бесконечно близко к 0, поэтому площадь может быть в интервале .