Сначала необходимо заметить, что кратчайшее расстояние между двумя расположенными на сфере точками по ее поверхности это длина меньшей дуги, проходящей через эти две точки окружности, центр которой совпадает с центром сферы. Отсюда сразу следует первая оценка на радиус сферы: он не может быть меньше, чем В противном случае длина самой большой окружности, расположенной на сфере, меньше, чем , и длина ее меньшей дуги будет меньше, чем что противоречит условию задачи.

Обозначим радиус сферы за ее центр обозначим буквой Рассмотрим две произвольные точки пусть длина дуги равна отметим, что Из сектора и треугольника имеем:

Из этой формулы следует, что периметр треугольника равен:

Рассмотрим функцию одной переменной:

Тогда что положительно при так как
Обратим внимание, что все три слагаемых, входящих в периметр, являются такого сорта функциями, при этом радиус не может быть меньше, чем 5 и, следовательно, величина во всех трех слагаемых принадлежит полуинтервалу Поэтому периметр треугольника является возрастающей функцией параметра и, следовательно, задача сводится к следующей: найти минимальный радиус сферы, на которой могут быть расположены точки удовлетворяющие данным из условия задачи.
Обоснование того, что минимальный радиус равен состоит из двух тезисов. Во-первых, на сфере радиуса расположить три точки в соответствии с условием задачи можно: достаточно взять экватор сферы, его длина равна что равно сумме данных в условии расстояний. Берем произвольную точку на этой окружности, проходим по часовой стрелке расстояние отмечаем точку B, проходим еще отмечаем точку
Во-вторых, на сфере радиуса, меньшего чем 6, точки расположить не получится. Чтобы это доказать, проведем аналогию с глобусом. Представим себе, что точка это северный полюс планеты радиуса 6. Тогда геометрическим местом точек кратчайшее расстояние от которых по сфере до точки равно будет параллель-«экватор», а геометрическим местом точек кратчайшее расстояние от которых по сфере до точки равно будет параллель в южном полушарии. Максимальное расстояние между точкой с «экватора» и точкой с «южной» параллели как раз равно и будет достигаться в случае, когда эти точки расположены на противоположных меридианах. Любые меридиональные смещения одной из точек, очевидно, уменьшат расстояние между ними. Попытка уменьшить радиус сферы-планеты приведет к тому, что параллели, на которых лежат точки и сместятся ближе к южному полюсу, и максимальное из расстояний между точками с этих параллелей (которое по-прежнему достигается в случае их расположения на противоположных меридианах) уже будет менее, чем Итак, минимально возможный радиус сферы равен 6, откуда получаем ответ: