Пусть — середина ребра а точка - середина отрезка . Рассмотрим плоскость . Так как плоскость сечения параллельна медиане и проходит через точку , построим прямую в плоскости . Тогда - средняя линия в , а середина .

Теперь нам известны три точки сечения: . Рассмотрим основание пирамиды и посмотрим, как прямая пересекает стороны основания. Пусть эта прямая пересекает прямые в точках .

Из теоремы Менелая для треугольника получаем, что

Так как , то .

Далее замечаем, что . Тогда

Откуда .

Из подобия получаем

То есть .

Аналогично из подобия получаем

То есть .

Проведем , где - точка на . Тогда

И . Тогда из теоремы косинусов для треугольника получим .

Пусть - точка, в которой прямая пересекает ребро . Тогда из теоремы Менелая для и прямой получим:

Далее из теоремы Менелая для имеем:

В силу параллельности прямых и имеем , откуда . По теореме косинусов для имеем , то есть . Из теоремы Пифагора для треугольника получаем , откуда . По теореме косинусов для имеем , а значит . По теореме Пифагора для вычислим . Заметим, что для треугольника выполняется теорема Пифагора, то есть угол прямой. С помощью теоремы косинусов для треугольника вычислим . Теперь через теоремы косинусов для треугольников и вычислим длины отрезков . Далее по теореме Герона получаем .

Заметим, что . Значит, .

Если бы призма была прямая, то площади боковых граней были бы равны. Значит, призма наклонная.

Обозначим призму площади из условия

Пусть — высоты параллелограммов и Тогда т.к. площади равны, а также равны их основания, так как равносторонний треугольник.

Пусть — проекция на плоскость Тогда следовательно, точка равноудалена от прямых и

(a) Рассмотрим случай, когда принадлежит биссектрисе угла — высота, медиана и биссектриса в равностороннем треугольнике.

Тогда получаем, что — прямоугольник. Пусть сторона треугольника равна Посчитаем площадь прямоугольника и параллелограмма.

Но тогда

получаем противоречие.

(b) Рассмотрим случай, когда принадлежит внешней биссектрисе угла

Но следовательно, откуда следует, что высота параллелограмма совпадает с высотой призмы В итоге

Пусть сторона основания пирамиды с вершиной равна , а боковое ребро равно . Для построения проекции достаточно рассмотреть две пары скрещивающихся ребер, например и , проекции которых являются сторонами параллелограмма

Пусть — общий перпендикуляр пары рёбер и , а — общий перпендикуляр скрещивающихся рёбер и . Плоскость проекции параллельна как , так и , поскольку ортогональной проекцией пирамиды является параллелограмм. Отрезки и проектируются на плоскость без изменения длины в высоты параллелограмма и , так как и обе перпендикулярны и будут параллельны друг другу, т.к. — параллелограмм. То есть не просто общий перпендикуляр и , но и общий перпендикуляр двух вышеописанных плоскостей. А значит ещё это и общий перпендикуляр для и

Поскольку пирамида правильная, . Следовательно,

В параллелограмме высоты, проведённые к смежным сторонам, равны — значит, параллелограмм является ромбом.

Пусть ребро наклонено к плоскости под углом , тогда ребро , которое перпендикулярно , наклонено под углом . Отсюда

Обозначим . Тогда .

Найдём расстояние между скрещивающимися рёбрами правильной треугольной пирамиды как высоту сечения :

откуда

Тогда синус острого угла пирамиды равен . Подставляя найденные выражения и данное в условии значение , получим , откуда (что невозможно) или

Площадь боковой поверхности пирамиды равна

Подставив и , найдём

Объём правильной пирамиды равен

Обозначим основание пирамиды — , вершину пирамиды — , центр сферы — , радиус сферы — . Пусть . Обозначим .

Так как радиус, проведённый в точку касания сферы и плоскости, ортогонален плоскости, имеем:

С другой стороны, так как боковые рёбра попарно перпендикулярны, то

Поэтому

Числа находятся из системы уравнений:

Складывая уравнения системы и деля на два, получим:

откуда . Тогда

Построим сечение пирамиды. В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит прямой Тогда будет средней линией треугольника следовательно, где — сторона основания пирамиды.

Плоскость содержит прямые и которые параллельны плоскости сечения, следовательно, по признаку плоскость параллельна плоскости сечения.

Через точку проведем прямую параллельную где принадлежит прямой Т.к. и значит, — параллелограмм, следовательно, Учитывая, что — середина а также можем сказать, что

Пусть — точка пересечения прямых и Плоскость сечения пересекает основание пирамиды по отрезку

Пусть — точка пересечения и Заметим, что углы И равны как вертикальные, а углы и как накрестлежащие при параллельных прямых и и секущей Следовательно, треугольники и подобны, поэтому

Т.к. является правильным шестиугольником, значит, Учитывая, что получаем, что Т.к. и углы и равны, аналогично, т.к. и углы и равны, а также следовательно, треугольники и равны, поэтому

Пусть точка — точка пересечения прямых и а точка — точка пересечения прямых и Из-за того, что — правильный шестиугольник, можно сделать вывод, что Т.к. треугольники и подобны, поэтому

В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит ребру — точка пересечения прямой с ребром параллельны друг другу, поэтому по теореме Фалеса имеем

В плоскости точка — точка пересечения прямых и Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей

Искомое сечение - это Для нахождения площади сечения используем формулу

где — площадь проекции сечения на плоскость основания, — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Найдем площадь проекции сечения на плоскость основания.

Проекцией является пятиугольник Площадь проекции сечения вычисляется по формуле

Обозначим расстояние от точки до плоскости сечения Т.к. точка принадлежащая плоскости сечения является серединой расстояние от точки до сечения тоже равно В треугольнике проведем высоту обозначим ее длину Тогда

Т.к. — правильный, Тогда найдем по теореме косинусов:

Используя различные формулы для нахождения площади треугольника имеем

Тогда

Окончательно имеем

Построим сечение. Поскольку секущая плоскость параллельна ребру , она пересечет плоскость по прямой , параллельной , а плоскость — по прямой , также параллельной . Соединим точки и , лежащие в одной плоскости, и точки и , лежащие в одной плоскости, получим — искомое сечение.

Пусть — объем пирамиды, — сумма объемов пирамид и и .

Из подобия пар треугольников и и из условия задачи получим, что

Отсюда следует, что

где — высота, опущенная из вершины пирамиды , — высота, опушенная из вершины пирамиды .

А также значит, что площадь основания пирамиды равна:

Тем самым:

Аналогично из подобия пар треугольников и и из условия задачи получим, что

Отсюда следует, что

где — высота, опущенная из вершины пирамиды , — высота, опущенная из вершины пирамиды .

А также значит, что площадь основания пирамиды равна:

Тем самым:

Теперь можно записать, что

Пусть — правильная пирамида, а сечение проходит через середину . В силу симметрии можно утверждать, что оно параллельно и . Итак, — середина , — плоскость сечения, тогда в силу её параллельности выполнено , где — середина . Далее, если — высота основания, а — её середина, то , поскольку в силу параллельности в лежит вся средняя линия () треугольника . Осталось снова воспользоваться , откуда вся средняя линия () треугольника лежит в , то есть — сечение (построение сечения стандартно, как на ЕГЭ, но требует обоснований).

Итак, , а также как средние линии, следовательно, — параллелограмм, — его высота, , так что

.

Точки и симметричные S относительно биссекторных плоскостей, лежат в плоскости А поскольку тройка этих биссекторных плоскостей переходит в себя при повороте на вокруг оси пирамиды, то этим свойством обладает и тройка точек Следовательно, треугольник –правильный, и его центр, который мы обозначим через совпадает с центром треугольника

Заметим, далее, что пирамида – образ пирамиды при гомотетии с центром и коэффициентом С учётом условия задачи это означает, что отношение объёмов пирамид и равно А поскольку у этих пирамид общая высота то и отношение площади треугольника к площади треугольника равно В качестве следствия получается равенство которое будет нами использовано.

Обозначив величину двугранного ребра при ребре через , точкой, симметричной относительно соответствующей биссекторной плоскости будем считать Тогда где -– середина ребра ; треугольник – равнобедренный откуда

А поскольку

то

При левая часть последнего равенства равна что позволяет найти

Так как плоскость параллельна плоскости основания то

Пирамиды и подобны, тогда их объёмы относятся как коэффициент подобия в кубе:

Пусть тогда Заметим, что объём пирамиды складывается из двух кусочков: объём которой мы знаем, и Причём эти 2 пирамиды имеют общее основание тогда их объёмы относятся так же, как относятся их высоты к А высоты относятся так же, как относятся и то есть высота пирамиды больше высоты пирамиды в Значит,

Отношение объём пирамид с общим трёхгранным углом равно произведению отношений длин рёбер, исходящих из этого угла,

где Поскольку треугольники и равны, Значит,

Дальше можно было бы строить сечение и использовать для подсчёта отношений теоремы Фалеса и Менелая, но мы воспользуемся координатно-векторным методом.

— параллелограмм, поэтому и, следовательно,

Если точка принадлежит плоскости а коэффициенты и удовлетворяют уравнению (это, как известно, уравнение плоскости, даже если система координат не декартова, а точки и этому уравнению, очевидно, удовлетворяют).

Получаем

Обратная величина является ответом к задаче.

Поскольку пирамида правильная, то центр указанного шара лежит в плоскости , где — высота пирамиды. Пусть

Обозначим Проведем — точка касания шара плоскости пусть радиус шара Поскольку то Треугольники и подобны, и или

По условию задачи Тогда

Точка — точка пересечения и тогда Поскольку

Пусть . Тогда Если то Угол между плоскостью и плоскостью основания равен Тогда

Пусть — отрезок перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость основания , и . Тогда . Если , то

— высота треугольника проведенная из вершины

Пусть корабль находится в некоторой точке Рассмотрим правильный октаэдр описанный возле шара радиуса с центром в точке Докажем, что путь заведомо позволит достигнуть граничной плоскости.

Предположим противное. Тогда вершины октаэдра, а значит, и сам октаэдр (выпуклая оболочка его вершин) лежат строго внутри полупространства. Поэтому вписанный шар октаэдра, радиус которого равен тоже лежит строго внутри полупространства. Получаем противоречие, так как по условию расстояние до граничной плоскости полупространства равно

Покажем теперь, что длина пути меньше Пусть — высота пирамиды Запишем ее объём двумя способами:

Отсюда получаем, что а длина ребра октаэдра равна Поэтому длина пути равна так как

Из условия задачи вытекает, что ребро пирамиды перпендикулярно основанию

Обозначим Пирамида является частью изображённого на рисунке куба с ребром причём все 48 пирамид, образующих этот куб, располагаются центрально-симметрично относительно общей вершины

Поэтому искомый объём есть объёма тела, представляющего собой пересечение шара радиуса и данного куба. Это пересечение есть шар без шести шаровых сегментов с высотой шарового сегмента (см. рисунок).

Объём этого тела:

Значит, искомый объём равен

Отметим, что объём всей пирамиды равен (или, что то же самое, части куба, то есть ) Найденный объём части пирамиды больше, чем объема пирамиды, так как

Это подтверждает, что мы нашли именно объём большей части пирамиды.

Пусть — основание перпендикуляра, опущенного из точки на ребро . Тогда плоскость перпендикулярна прямой , так как из равенства треугольников и следует, что и перпендикуляр к .

По условию прямые и совпадают, следовательно, точки и лежат в плоскости, перпендикулярной прямой . Этой плоскостью является плоскость , в силу того, что точка лежит на прямой , а прямая перпендикулярна пересекающимся прямым и этой плоскости. Таким образом, точка является точкой пересечения прямой и плоскости , следовательно, точка лежит на продолжении отрезка за точку и . Далее, точка лежит на прямой и , поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, , следовательно, — точка пересечения диагоналей ромба .

Наконец, точка равноудалена от точек и , поэтому — середина ребра , а точка — середина отрезка — является центром основания пирамиды.

Теперь искомое отношение находится несложными вычислениями. Пусть , тогда, по условию, , поэтому , и объем пирамиды равен Далее, из треугольника находим . Отсюда следует, что равнобедренный треугольник, в котором , площадь основания призмы равна , a её высота Таким образом, объем призмы равен , а искомое отношение равно .

Обозначим через сторону основания данной пирамиды .

Пусть плоскость, параллельная основанию пирамиды и проходящая через точку лежащую на высоте пирамиды, делит высоту в данном отношении

. Тогда в сечении пирамиды этой плоскостью получится квадрат со стороной ().

Пусть боковое ребро правильной призмы лежит на диагонали квадрата . Тогда вершины противоположной грани лежат на сторонах соответственно квадрата .

Из прямоугольного треугольника находим, что

Тогда если - высота равностороннего треугольника , то

Пусть - сторона основания призмы. Тогда . Из уравнения находим, что .

Обозначим . Поскольку прямоугольник вписан в квадрат , причём его стороны параллельны диагоналям квадрата, то периметр прямоугольника равен сумме диагоналей квадрата, т. е. . Значит,

Поэтому

Выразим найденный объём через объём данной пирамиды:

Следовательно,

Рассмотрим произвольный тетраэдр, содержащий заданный трёхгранный угол. Пусть ( соответствует углу и т.д.) — длины смежных с трёхгранным углом сторон этого тетраэдра. Заметим, что

Где — длина высоты на грань со сторонами , а — её площадь, — объём тетраэдра. Отсюда следует, что каждое произведение равно .

Пусть это углы при вершине в тетраэдре . То есть нужно доказать, что

Пусть . Отсюда (по сути это сумма квадратов проекций на “оси координат” — стороны тетраэдра, делённая на само , что равно единице из теоремы Пифагора).

По теореме о площади ортогональной проекции Выписывая аналогичные равенства для оставшихся граней, получаем нужное соотношение

Так как все плоские углы при вершине прямые, то:

во-первых, запишем объём двумя способами:

откуда

во-вторых, по пространственной теореме Пифагора для прямоугольного тетраэдра

Выражаем площади:

Отсюда немедленно получаем:

Пусть — высота треугольника , а угол между плоскостями и равен

С одной стороны (расстояние от до грани по следствию из теоремы о трёх перпендикулярах падает на перпендикуляр, восставленный из точки в плоскости соответствующей грани):

С другой стороны (отношение расстояний до общей грани переписывается через отношение наклонных из подобия прямоугольных треугольников):

Пусть . Опустим высоту пирамиды в точку — центр квадрата . Далее пересечём (все они лежат в плоскости ), заметим, что , откуда пересечение этой плоскостью нашей — прямая , где . Отсюда будет искомым сечением. В силу выполнено , то есть площадь можно найти по формуле . Далее — центр треугольника , как пересечение двух медиан, то есть . Кроме того, . Отсюда , а по свойству точки пересечения медиан . В итоге .