Обозначим через сторону основания данной пирамиды .

Пусть плоскость, параллельная основанию пирамиды и проходящая через точку лежащую на высоте пирамиды, делит высоту в данном отношении

. Тогда в сечении пирамиды этой плоскостью получится квадрат со стороной ().

Пусть боковое ребро правильной призмы лежит на диагонали квадрата . Тогда вершины противоположной грани лежат на сторонах соответственно квадрата .

Из прямоугольного треугольника находим, что

Тогда если - высота равностороннего треугольника , то

Пусть - сторона основания призмы. Тогда . Из уравнения находим, что .

Обозначим . Поскольку прямоугольник вписан в квадрат , причём его стороны параллельны диагоналям квадрата, то периметр прямоугольника равен сумме диагоналей квадрата, т. е. . Значит,

Поэтому

Выразим найденный объём через объём данной пирамиды:

Следовательно,