Пусть имеет в своей записи цифру, тогда

где — это какое-то -значное число. Значит, после перестановки 3 в начало мы получим число

По условию получаем равенство

Следовательно, можем понять как выглядит

По условию должно делиться на 99, а следовательно оно делиться на 11. Значит, по признаку делимости на 11, знакопеременная сумма цифр числа должна делиться на 11. Но видно из его записи, когда чётно, то знакопеременная сумма равна 3, когда нечётно, то знакопеременная сумма равна 6. Следовательно, на 11 делиться не может.

В итоге делаем вывод, что чисел, подходящих под условия задачи, не существует.

Лемма. Пусть — натуральные числа, Тогда существует число, делящееся на десятичная запись которого представляет многократно повторенную запись числа

Доказательство. Среди чисел есть два числа, дающих одинаковый остаток при делении на (если взять достаточно много чисел больших, чем ). Возьмем их разность и отбросим нули на конце.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Тогда по лемме возьмём в качестве просто произведение всех -значных чисел, составленных из Это число будет, очевидно, взаимно просто с и Теперь в качестве числа для выполнения условия задачи можно взять число, которое содержит сначала очень много единиц, потом очень много троек, семёрок и девяток. Снова получаем по лемме, что каждый блок по отдельности делится на (либо же можно сослаться на то, что приписывание нулей после блока цифр на делимость не влияет). Тогда и всё число тоже будет делится.

Сначала заметим, что среди цифр этого числа могли быть только простые числа , потому что можно вычеркнуть все цифры, кроме одной, тогда по условию это однозначное число должно быть простым.

Дальше заметим, что никакая цифра не могла встретиться дважды, иначе можно получить число вида , которое делится на , а так как —- какая-то цифра из набора , то это число не простое.

И наконец, среди цифр встречается только одно, потому что числа составные.

Значит, число из условия не более, чем двузначное. При этом оно может быть двузначным, только если одна из цифр , а другая —- одна из . Тогда максимально возможное простое число, удовлетворяющее условиям задачи, —- это .

Пусть искомое число записано цифрами то есть

Запишем условие задачи:

Перепишем это равенство в виде:

Левая часть делится на 10, значит также делится на 10. В силу того, что и — однозначные числа, эта разность может быть равна только 0, т.е. Подставив в полученное ранее равенство, получим

Итак, возможен только один вариант:

Максимальное -значное натуральное число это Докажем, что оно подходит под условие.

Если тогда Сумма цифр у числа равняется Рассмотрим сумму цифр у Будем рассматривать такие что они не оканчиваются на так как нули не влияют на сумму цифр Соответственно переходов через разряд у нет.

Когда из вычитается число происходит следующее:

(a) У -го разряда числа занимается единица. Тогда у остальных младших разрядов вместо будет кроме последнего, у которого будет

(b) При вычитании числа в результате будет в разрядах будет записываться такая цифра, что в сумме с цифрой из стоящей на том же разряде, они дадут кроме первого разряда, у которого в сумме будет

Тогда сумма цифр до -го разряда будет равняться

так как изначально было девяток и одна десятка.

Оставшаяся сумма цифр числа будет равняться Но учитывая ограничения, которые мы ввели, получаем, что

Тогда сумма цифр числа это

что совпадает со суммой цифр числа

Заметим, что если для исходного числа существует такой момент, то и для числа , полученного вычеркиванием всех девяток из исходного, он так же существует, поскольку каждое вычеркивание не меняет остаток при делении суммы цифр на 9.

Рассмотрим число . В силу неравенства , отношение количества восьмерок к оставшимся числам, больше 9. Отметим подряд идущие блоки по 9 чисел. Докажем, что существует блок, элементами которого являются лишь восьмерки. Пусть это не так, тогда в каждом блоке есть цифра отличная от восьмерки, следовательно, количество цифр, не являющихся восьмерками, хотя бы от общего количество, что противоречит полученному неравенству.

Рассмотрим блок, состоящий только из восьмерок. Пусть число, полученное из вычеркиванием всех цифр до найденного блока, имеет остаток при делении на 9. Каждое вычеркивание 8 увеличивает остаток при делении на 9 на 1, следовательно, вычеркнув элементов в блоке, мы получим искомое число.

Десятичная запись данного числа имеет вид где — первые цифр числа а состоит из цифр: последние цифр числа за которыми следуют первые цифр. Предположим, что это число — степень двойки. Поскольку оно -значное, оно больше чем а значит, оно делится на Следовательно, число (последние цифр данного числа) тоже делится на так как разность всего числа и числа из его последних 100 цифр делится на а значит, и на Число равно произведению числа и нечетного числа вида Следовательно, тоже делится на Но Противоречие.

Понятно, что это число делится на так как раскладывается через сумму, где каждое слагаемое делится на Очевидно, что сумма цифр тоже равна

Обозначим самое большое выписанное число через . Минимальная сумма синих чисел равна

Максимальная сумма красных чисел равна

Так как , отношение суммы красных чисел к сумме синих меньше трех, значит, если все-таки сумма красных чисел делится на сумму синих, частное равно 1 или 2.

В первом случае мы получаем, что суммы красных чисел и синих чисел должны быть равны, поэтому сумма всех выписанных на доску чисел должна быть четна. При этом половина, а именно , чисел нечетна. Поэтому сумма всех чисел на самом деле нечетна, и частное не может быть равно 1.

Во втором случае обозначим сумму синих чисел через . Сумма красных чисел равна , а сумма всех выписанных чисел равна , то есть делится на 3. На самом же деле сумма выписанных чисел равна

Признак делимости на 3 гласит: натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа равна 4 , а сумма цифр числа равна 5 . Поэтому оба этих числа не делятся на 3 , тогда и сумма всех выписанных чисел на 3 не делится, и второй случай также невозможен.

Указанную сумму обозначим через , а количество слагаемых в ней (совпадающее с количеством цифр в последнем слагаемом) - через . Тогда сумма остатков слагаемых от деления на 10000 равна , и дает при делении на 10000 такой же остаток, что и .

Поэтому выполнено равенство , где - некоторое натуральное число. Отсюда

Наименьшее , при котором делится на 1111, равно 1111-789=322.

Следовательно, искомое решение равно .

Одну задачу студент получить не может, так как 2021 не является палиндромом. Предположим, что он может получить две задачи, тогда хотя бы одно из чисел — четырёхзначное. Если оно начинается на 2, то вторая цифра 0 и само число равно 2002. В таком случае второе число равно 19, что не палиндром. Если же число начинается с 1, то его последняя цифра также 1 и у второго числа последняя цифра должна быть нулём, что неверно для палиндромов. Значит две задачи студент получить не мог. Пример на 3 задачи существует, например,

a) Рассмотрим формулу . Если - вычитание, то выражение тождественно равно . Если - умножение, то при . Поэтому выражение равно при любом смысле знаков и . Действительно, если - вычитание, то . Если же - умножение, то - вычитание, тогда .

б) Предположим, что переменным приданы четные значения. Тогда и , и , также являются чётными. Поэтому при таких значениях переменных любая формула имеет чётное значение.

Сначала заметим, что не существуют двузначных чисел, делящихся на или , содержащих , или в своей записи. Поэтому в специальных числах таких цифр быть не может. Заметим, что рядом с цифрой в специальном числе может идти только цифра , а рядом с цифрой может идти только цифра . То есть специальных чисел, содержащих или , ровно (в которых чередуются и ). Заметим, что не существует двузначных чисел, делящихся на или на , начинающихся на цифру . Поэтому цифра может стоять в специальном числе только на последнем месте. Перед ней будет , перед будет , перед цифра , дальше , потом опять , и так далее. Аналогично все однозначно восстанавливается, если в конце специального числа стоят цифры . Таким образом, всего специальных чисел .

Заметим, что . Тогда из условия получим . Следовательно, . Разделим число на . Получим число

Заметим, что

Аналогично,

Тогда

Значит, число целое, причем так как Отсюда а ответ равен

Заметим, что . Итак, . Поэтому .

Пусть в последнем слагаемом цифр. По условию десятичная запись суммы оканчивается на

то есть при некотором натуральном верно

откуда с учётом натуральности сразу следует условие для сократимости дроби

Следовательно,

В обеих оценках достигается равенство, при котором выполнено условие.

Перепишем условие в более удобном виде. Пусть , тогда

Так как число двузначное, то , так что правая часть равенства выше отрицательна. При этом левая положительна. Значит, решений нет.

Запишем число в виде . По условию . Заметим, что не может быть 0 , потому что в противном случае также будет равна 0 , а это первая цифра числа. Также делится на . Следовательно,

Посмотрим на задачу с другой стороны. Будем выкидывать из точных квадратов различными способами цифр и получать какие-то натуральные числа.

Заметим, что мы можем получить числа от до только лишь из квадратов чисел Действительно, число состоит из цифр, то есть после выкидывания из него не более цифр получится число с хотя бы цифрами, а у всего цифра.

У каждого числа из набора не более цифр, а значит у квадратов этих чисел — не более цифр. Следовательно, из каждого квадрата можно получить не более чисел выкидыванием десяти цифр. Значит, всего можно получить не более чисел. Покажем, что После сокращения на и расписывания цешки неравенство примет вид: Очевидно, что: Таким образом, мы не сможем получить все числа от до отсюда следует отрицательный ответ.