Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания и трапеции равны соответственно 5 и 45, Докажите, что треугольники и подобны.
Рассмотрим треугольники и
- 1.
- Так как то как внутренние накрест лежащие.
- 2.
Тогда по двум сторонам и углу между ними.
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, пересекающая стороны и в точках и соответственно. Докажите, что отрезки и равны.
Рассмотрим треугольники и
- 1.
- так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам;
- 2.
- как вертикальные;
- 3.
- как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей
Тогда треугольники и равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, как соответственнные элементы равных треугольников.
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, пересекающая стороны и в точках и соответственно. Докажите, что отрезки и равны.
Проведем Тогда — параллелограмм, так как его противоположные стороны параллельны. Следовательно,
Так как и — середина то по теореме Фалеса — середина следовательно,
Таким образом,
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В параллелограмме проведены высоты и к сторонам и соответственно, при этом Докажите, что — ромб.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённой к этому основанию, поэтому
Значит,
Так как то
По свойству параллелограмма Так как то Значит, — ромб по определению.
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции с основаниями и диагонали пересекаются в точке Докажите, что площади треугольников и равны.
Опустим высоты и трапеции
Рассмотрим треугольники и В них проведены высоты и соответственно. Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, то
как расстояние между двумя параллельными прямыми. Значит,
Так как и то
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сторона параллелограмма вдвое больше стороны Точка — середина стороны Докажите, что — биссектриса угла
Так как — середина то По условию значит,
Рассмотрим треугольник следовательно, треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому
Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, и то
Таким образом,
Значит, — биссектриса
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сторона параллелограмма вдвое больше стороны Точка — середина стороны Докажите, что — биссектриса угла
Так как — середина то По условию значит,
Рассмотрим треугольник следовательно, треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому
Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, и то
Таким образом,
Значит, — биссектриса
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке лежащей на стороне Докажите, что — середина
Углы и равны, так как — биссектриса. Также углы и равны, так как — биссектриса.
Противоположные стороны в параллелограмме параллельны, поэтому и как накрест лежащие. Получаем два равнобедренных треугольника и
В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть в силу равнобедренности треугольников Тогда точка — середина стороны
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов и трапеции пересекаются в точке лежащей на стороне Докажите, что точка равноудалена от прямых и
Проведем перпендикуляры из точки к прямым соответственно.
Требуется доказать, что точка равноудалена от прямых и то есть, что длины перпендикуляров из точки к этим прямым равны, то есть:
Рассмотрим и
- 1.
- 2.
- 3.
- – общая сторона.
= по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда как соответственные элементы равных треугольников.
Рассмотрим и
- 1.
- 2.
- 3.
- – общая сторона.
= по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда как соответственные элементы равных треугольников.
Получаем:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В параллелограмме диагонали и пересекаются в точке Докажите, что площадь параллелограмма в четыре раза больше площади треугольника
Проведём через точку высоту параллелограмма
Рассмотрим треугольники и
- 1.
- как накрест лежащие при параллельных прямых;
- 2.
- как вертикальные;
- 3.
- так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Тогда треугольники и равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. как соответственные элементы равных треугольников.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Внутри параллелограмма выбрали произвольную точку Докажите, что сумма площадей треугольников и равна половине площади параллелограмма.
Проведем высоту в в высоту По формуле площади треугольника
Тогда
По свойству параллелограмма противоположные стороны равны, то есть поэтому
По определению параллелограмма по построению и поэтому по свойству параллельных прямых Так как и имеют общую точку и перпендикулярны прямой то и лежат на одной прямой, поэтому: Таким образом,
При этом – высота параллелограмма так как поэтому по формуле площади параллелограмма
Получаем
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На средней линии трапеции с основаниями и выбрали произвольную точку Докажите, что сумма площадей треугольников и равна половине площади трапеции.
Пусть — средняя линия. Так как то расстояние от точки до оснований трапеции одинаково, то есть
Действительно, следовательно, точки и лежат на одной прямой. Тогда по теореме Фалеса для и и так как то где — высота трапеции.
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка — середина боковой стороны трапеции Докажите, что площадь треугольника равна сумме площадей треугольников и
Опустим перпендикуляры и из точки на прямые и соответственно. Тогда следовательно Так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, то точки лежат на одной прямой, то есть — высота трапеции
Рассмотрим треугольники и В них по условию, как вертикальные. Тогда треугольники и равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, как соответственные элементы равных треугольников.
Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, то
Значит,
Так как то
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана равнобедренная трапеция Точка лежит на основании и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что — середина основания
Так как точка равноудалена от концов основания то Тогда треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому
Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, то
В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому
По теореме о сумме углов треугольника
Рассмотрим треугольники и так как трапеция равнобедренная, Тогда треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. как соответственные элементы равных треугольников. Значит, точка — середина основания
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка — середина боковой стороны трапеции , а Докажите, что трапеция прямоугольная.
Отметим точку — середину
Так как точка — середина то — средняя линия трапеции
По свойству средней линии трапеции
Рассмотрим Так как то — равнобедренный.
— медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию. По свойству медианы в равнобедренном треугольнике, проведенной к основанию, — высота.
Тогда
Так как перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и к другой прямой, то
Тогда
то есть трапеция — прямоугольная.
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |