Треугольники —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 24. Геометрическая задача на доказательство

24.02 Треугольники

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрическая задача на доказательство

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#27834

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA1$ и $BB1.$ Докажите, что углы $BB1A1$ и $BAA1$ равны.

Показать доказательство

Треугольник $ABC$ остроугольный по условию, значит, точки $A1$ и $B1$ лежат на сторонах $BC$ и $AC$ соответственно.

$PIC$

Рассмотрим четырехугольник $ABA1B1.$ Заметим, что углы $AA1B$ и $AB1B$ являются прямыми и опираются на одну и ту же сторону — сторону $AB,$ значит, четырехугольник $ABA1B1$ является вписанным. Тогда углы, опирающиеся на дугу $A1B$ равны, то есть $BB1A1 = BAA1.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#40284

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA1$ и $CC1.$ Докажите, что углы $CC1A1$ и $CAA1$ равны.

Показать ответ и решение

Способ 1.

Так как $AA1$ и $CC1$ — высоты, то:

∠CC1A = ∠CC1B = 90∘ ∘ ∠AA1C = ∠AA1B = 90

Обозначим точку пересечения $AA 1$ и $CC 1$ за $H.$ $△ ABC$ — остроугольный, поэтому точка пересечения высот лежит внутри треугольника.

$PIC$

Рассмотрим $△ C1HA$ и $△ A1HC :$

1.: $∠AC1H = ∠CA1H = 90∘;$
2.: $∠C1HA = A1HC$ как вертикальные углы.

$△ C1HA ∼ △A1HC$ по двум углам.

Запишем коэффициент подобия:

C1H C1A HA A1H- = A1C-= HC-

Рассмотрим $△ CHA$ и $△ A1HC1 :$

1.: $∠AHC = ∠C1HA1$ как вертикальные углы;
2.: $HA- C1H- HC = A1H$ из подобия $△ C1HA$ и $△ A1HC.$

$△ CHA ∼ △A1HC1$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда:

∠CAH = ∠AC1H

как соответственные углы подобных треугольников.

Так как $∠CC1A1 = ∠HC1A1,$ $∠CAA1 = ∠CAH,$ то

∠CC1A1 = ∠CAA1

Способ 2.

Так как $CC1$ и $AA1$ — высоты, то

∠CC1A = ∠AA1C = 90∘

$PIC$

Так как $∠CC1A =∠AA1C$ и оба угла опираются на отрезок $AC,$ то четырехугольник $AC1A1C$ — вписанный.

Следовательно, $∠CC1A1 = ∠CAA1$ как вписанные углы, опирающиеся на дугу $A1C.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#55505

Высоты $BB1$ и $CC1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $E.$ Докажите, что углы $BB1C1$ и $BCC1$ равны.

Показать ответ и решение

Так как $BB1$ и $CC1$ — высоты, то:

∠CC1A = ∠CC1B = 90∘ ∘ ∠BB1C = ∠BB1A = 90

$PIC$

Рассмотрим треугольники $C1EB$ и $B1EC.$ Так как $∘ ∠BC1E =∠CB1E = 90 ,$ $∠C EB = ∠B EC 1 1$ как вертикальные, то треугольники $C EB 1$ и $B EC 1$ подобны по двум углам.

Запишем отношение подобия:

C1E C1B BE B1E- = B1C-= CE-

Рассмотрим треугольники $CEB$ и $B1EC1 :$

1.: $∠CEB =∠B1EC1$ как вертикальные;
2.: $C1E BE B1E = CE.$

Тогда треугольники $CEB$ и $B1EC1$ подобны по двум сторонам и углу между ними. $∠C1B1E = ∠BCE$ как соответственные углы подобных треугольников. Значит, $∠BB1C1 = ∠BCC1.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#48626

Высоты $BB1$ и $CC1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $E.$ Докажите, что углы $CC1B1$ и $CBB1$ равны.

Показать ответ и решение

Так как $BB1$ и $CC1$ — высоты, то $∠BC1C = ∠BB1C = 90∘.$ При этом $∠BC1C$ и $∠BB1C$ опираются на один отрезок $BC.$ Значит, по признаку вписанного четырёхугольника около четырёхугольника $C1BCB1$ можно описать окружность.

$PIC$

Так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, а $∠B1C1C$ и $∠B1BC$ опираются на дугу $B1C,$ то

∠B1C1C = ∠B1BC

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#50564

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $BAC$ проведены высоты $BB1$ и $CC1.$ Докажите, что треугольники $AB1C1$ и $ABC$ подобны.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $BB1$ и $CC1$ — высоты, то $∠BB1C =∠CC1B = 90∘.$ $∠BB1C$ и $∠CC1B$ опираются на один отрезок $BC$ и равны, поэтому по признаку вписанного четырёхугольника $BB1C1C$ — вписанный. $∠C1BC$ и $∠CB1C1$ вписанные и опираются на одну дугу $C1C.$ Тогда $∠C1BC = ∠CB1C1.$

Рассмотрим треугольники $AB1C1$ и $ABC.$ $∠BAC = ∠B1AC1$ как вертикальные, $∠CBC1 = ∠C1B1A.$ Тогда треугольники $AB1C1$ и $ABC$ подобны по двум углам.

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#40286

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA1$ и $CC1.$ Докажите, что треугольники $A1BC1$ и $ABC$ подобны.

Показать ответ и решение

Способ 1.

Так как $∠ABC$ — тупой, то точки $A1$ и $C1$ лежат на продолжении сторон $BC$ и $AB$ соответственно.

Так как $AA1$ и $CC1$ — высоты, то

∠AA1B = ∠CC1B = 90∘.

$PIC$

Рассмотрим $△ A1BA$ и $△ C1BC :$

1.: $∠AA1B = ∠CC1B = 90∘;$
2.: $∠ABA1 = ∠CBC1$ как вертикальные углы.

$△A1BA ∼ △C1BC$ по двум углам.

Запишем коэффициент подобия:

A1B- A1A- BA- C1B = C1C = BC .

Рассмотрим $△ A1BC1$ и $△ ABC :$

1.: $∠A1BC1 = ∠ABC$ как вертикальные углы;
2.: $A1B- BA- C1B = BC$ из подобия $△ A1BA$ и $△ C1BC.$

$△A1BC1 ∼ △ABC$ по двум сторонам и углу между ними.

Способ 2.

$∠AA1C$ и $∠AC1C$ опираются на отрезок $AC$ и $∠AA1C = ∠AC1C = 90∘.$ Тогда около четырёхугольника $AA1C1C$ можно описать окружность.

$PIC$

$∠A1C1A = ∠A1CA,$ так как они вписанные и опираются на дугу $AA1.$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A1BC1.$ Так как $∠A1C1A = ∠A1CA,$ $∠A1BC1 =∠ABC$ как вертикальные. Тогда $△ ABC ∼△A1BC1.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#55284

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 36,$ $AC = 54,$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Прямая $BD,$ перпендикулярная прямой $AO,$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Продлим $AO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Обозначим полученную точку за $P.$ Проведём $BP$ и $PC.$

$AP$ — диаметр описанной около треугольника $ABC$ окружности, поэтому $∘ ∠ABP = ∠ACP = 90 ,$ так как они опираются на диаметр.

Обозначим точку пересечения $BD$ с $AP$ за $K.$

Треугольники $ABK$ и $APB$ подобны по двум углам ( $∠A$ — общий, $∘ ∠AKB = ∠ABP = 90$ ). Запишем отношение подобия:

AB- = AK- ⇒ AP ⋅AK = AB2 AP AB

Рассмотрим треугольники $AKD$ и $ACP.$ Они подобны по двум углам ( $∠A$ — общий, $∠AKD =∠ACP = 90∘$ ). Запишем отношение подобия:

AK- AD- AC = AP ⇒ AP ⋅AK = AC ⋅AD

Получили:

2 AB = AP ⋅AK = AC ⋅AD AB2 = AC ⋅AD AD = AB2-= 36-⋅36 = 24 AC 54

Тогда

CD = AC − AD = 54− 24= 30

Ответ: 30

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32027

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $AD = CE.$ Докажите, что если $BD = BE,$ то $AB = BC.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $BDE.$ Если в нем $BD =BE,$ то он равнобедренный. Тогда углы при его основании $DE$ равны, то есть $∠BDE = ∠BED.$

Углы, смежные равным, равны, значит, $∠ADB = ∠CEB.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBE.$ В них $AD = CE$ и $BD = BE$ по условию, и $∠ADB = ∠CEB,$ значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках соответственные элементы равны, следовательно, $AB = BC.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32028

В равностороннем треугольнике $ABC$ точки $M,$ $N,$ $K$ — середины сторон $AB,$ $BC,$ $CA$ соответственно. Докажите, что треугольник $MNK$ — равносторонний.

Показать ответ и решение

Способ 1

По условию $M,$ $N$ и $K$ — середины сторон $AB,$ $BC,$ $CA$ соответственно. Тогда $MN,$ $MK$ и $NK$ — средние линии треугольника $ABC.$ Значит,

MN = 1AC, MK = 1 BC, NK = 1AB. 2 2 2

$PIC$

Так как $ABC$ — равносторонний треугольник, в нем $AC = BC = AB,$ следовательно, $MN = MK = NK.$ Значит, треугольник $MNK$ является равносторонним.

Способ 2

Треугольник $ABC$ — равносторонний, значит,

∘ ∠A = ∠B = ∠B = 180-= 60∘ 3

Также

AM = BM = BN = CN = CK = AK = AB-= AC- = BC- 2 2 2

Рассмотрим треугольники $AMK$ и $BMN.$ Они равны по первому признаку равенства треугольников, так как $AM =BM,$ $AK = BN$ и $∠MAK = ∠MBN.$ Аналогично равны треугольники $AMK$ и $CNK$ $(AM = CN,$ $AK =CK$ и $∠MAK = ∠NCK ).$

$PIC$

В равных треугольниках соответственные элементы равны, следовательно, $MK = MN = NK.$ Значит, треугольник $MNK$ является равносторонним.

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел