Задачи на проценты, сплавы и смеси —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47560

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Показать ответ и решение

Пусть масса 30-процентного раствора равна $x,$ а 60-процентного — $y.$ Составим таблицу.


	Масса раствора	Масса вещества	Концентрация

30-процентный раствор	$x$	$0,3x$	$0,3$

60-процентный раствор	$y$	$0,6y$	$0,6$

50-процентный раствор	10	$0,5⋅10$	$0,5$

Первый новый раствор	$x+ y+ 10$	$0,36(x +y +10)$	$0,36$

Второй новый раствор	$x+ y+ 10$	$0,41(x +y +10)$	$0,41$

Получаем следующую систему:

{ 0,3x + 0,6y = 0,36(x+ y+ 10) 0,3x + 0,6y+ 0,5⋅10= 0,41(x + y+ 10) ⇔ { 0,3x +0,6y = 0,36x+ 0,36y +3,6 ⇔ 0,3x +0,6y+ 5= 0,41x+ 0,41y +4,1 ⇔ { { ⇔ 0,24y− 0,06x = 3,6 ⇔ 4y− x= 60 ⇔ 0,11x− 0,19y = 0,9 11x− 19y = 90 { { ⇔ x = 4y− 60 ⇔ x = 4y− 60 ⇔ 44y− 660− 19y = 90 25y =750 { ⇔ x =4 ⋅30− 60 = 60 y =30

Таким образом, масса 30-процентного раствора равна 60 кг.

Ответ: 60 кг

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47559

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Показать ответ и решение

Пусть масса первого сплава равна $x$ кг, а масса второго — $y$ кг. Составим таблицу.


	Масса сплава	Масса никеля	Концентрация

Первый сплав	$x$	$0,1x$	$0,1$

Второй сплав	$y$	$0,3y$	$0,3$

Новый сплав	200	$0,25⋅200$	$0,25$

Получаем следующую систему:

{ x+ y = 200 0,1x+ 0,3y = 0,25⋅200 ⇔ { ⇔ x= 200− y ⇔ 0,1⋅(200− y)+ 0,3y =50 { { ⇔ x= 200− y ⇔ x= 200− 150= 50 0,2y = 30 y = 150

Таким образом, разность масс первого и второго раствора равна $150− 50= 100$ кг.

Ответ: 100 кг

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#47558

Смешали некоторое количество 11-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 21-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Показать ответ и решение

Пусть масса первого раствора равна $x,$ тогда масса второго раствора тоже равна $x.$ Обозначим концентрация получившегося раствора за $y$ и составим таблицу.


	Масса раствора	Масса вещества	Концентрация

Первый раствор	$x$	$0,11x$	$0,11$

Второй раствор	$x$	$0,21x$	$0,21$

Новый раствор	$2x$	$2xy$	$y$

Получаем следующее уравнение:

0,11x+ 0,21x =2xy 0,11+ 0,21= 2y 0,32= 2y y = 0,16

Тогда концентрация получившегося раствора в процентах равна 16%.

Ответ: 16%

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#45466

Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим растор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится во втором растворе?

Показать ответ и решение

Пусть в первом растворе содержится $x$ процентов кислоты, во втором $y$ процентов кислоты. Заполним таблицу:


Растворы	Масса раствора, кг	Масса кислоты, кг	Процентное содержание кислоты

Первый	12	$12⋅-x- 100$	$x%$

Второй	8	$y 8⋅100$	$y%$

Первый + второй	20	$20⋅0,65$	$65%$

Так как масса кислоты в полученном растворе равна сумме масс кислоты в первом и втором растворах, то

x y 65 12⋅100 + 8⋅100 = 20 ⋅100 ⇔ 12x+ 8y = 1300

По условию если слить равные массы двух растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Пусть массы первого и второго растворов в этом случае равны $k$ кг. Составим таблицу:


Растворы	Масса раствора, кг	Масса кислоты, кг	Процентное содержание кислоты

Первый	$k$	$x k ⋅100$	$x%$

Второй	$k$	$k ⋅-y- 100$	$y%$

Первый + второй	$2k$	$2k ⋅0,6$	$60%$

Так как масса кислоты в полученном растворе равна сумме масс кислоты в первом и втором растворах, то

k⋅-x- +k ⋅-y-= 2k⋅-60 ⇔ x + y = 120 100 100 100

Составим систему:

$pict$

Тогда во втором растворе содержится 35% кислоты.

Ответ: 35%

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#42503

В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Показать ответ и решение

Составим следующую таблицу по данным из условия.


	Объем жидкости	Объем вещества	Концентрация

Раствор	7	$7⋅0,26$	0,26

Вода	6	0	0

Новый раствор	13	$7⋅0,26$	x

Теперь можем найти концентрацию нового раствора в процентах:

x = 7⋅0,26⋅100%= 7⋅26%--= 7⋅2% =14%. 13 13

Ответ: 14

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#42341

Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

Показать ответ и решение

Найдем процент сухой части в свежих фруктах:

100% − 79% =21%

Найдем процент сухой части в высушенных фруктах:

100% − 16% =84%

Масса сухой части в 72 кг высушенных фруктов равна:

84%-- 72 ⋅100%

В свежих фруктах масса сухой части такая же, только составляет $21%$ , тогда по правилу пропорции масса свежих фруктов равна:

72⋅ 84%-⋅ 100%-=72 ⋅4 = 288 кг 100% 21%

Ответ: 288 кг

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#41482

Смешали 4 литра 35-процентного раствора вещества с 11 литрами 5-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Показать ответ и решение

Пусть концетрация получившегося раствора составляет $x%.$

Объем полученного раствора равен сумме объемов первого и второго растворов, то есть

11+ 4 л= 15 л

Заполним таблицу:

Объем раствора

Процентная концентрация

Объем вещества

1 раствор

4 л

35%

$35⋅4-л= 1,4 100$ л

2 раствор

11 л

5%

$5⋅11 л= 0,55 100$ л

Полученный раствор

4 + 11 л = 15 л

$x%$

$1150x0$ л

Так как объем вещества в полученном растворе равен сумме объемов вещества в первом и втором растворах, то

15x 100-= 1,4+ 0,55 =1,95 1,95⋅100 195 x= ---15---= 15-= 13

Тогда концентрация полученного раствора составляет $13%.$

Ответ: 13

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#37858

В сосуд, содержащий 5 литров 27-процентного водного раствора вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Показать ответ и решение

Объем вещества в исходном растворе равен:

27% 5⋅100%-л

Объем нового раствора равен:

5+ 4= 9 л

Для того, чтобы найти концентрацию нового раствора, посчитаем отношение объема растворенного вещества к объему нового раствора:

5-⋅ 2107%0% 5-⋅27%-⋅100% 9 ⋅100% = 9⋅100% = 5⋅3= 15%

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#37857

Свежие фрукты содержат $88%$ воды, а высушенные — $30%$ . Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

Показать ответ и решение

Найдем процент сухой части в свежих фруктах:

100% − 88% =12%

Найдем процент сухой части в высушенных фруктах:

100% − 30% =70%

Масса сухой части в 72 кг высушенных фруктов равна:

70%-- 72 ⋅100%

В свежих фруктах масса сухой части такая же, только составляет $12%$ , тогда масса свежих фруктов равна:

72⋅ 70%-⋅ 100%-=6 ⋅70 = 420 кг 100% 12%

Ответ: 420

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#37856

Свежие фрукты содержат $90%$ воды, а высушенные — $24%.$ Сколько сухих фруктов получится из 684 кг свежих фруктов?

Показать ответ и решение

Найдем процент сухой части в свежих фруктах:

100% − 90% =10%

Найдем процент сухой части в высушенных фруктах:

100% − 24% =76%

В 684 кг сухая часть весит:

-10%-- 684⋅100%

Масса сухой части не меняется, меняется только процентное содержание, в сухих фруктах оно равно $76%$ , тогда их вес:

684⋅ 10%-⋅ 100%-=90 кг 100% 76%

Ответ: 90

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#37855

При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого $20%,$ и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого $50%$ , получился раствор, содержащий $30%$ кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Показать ответ и решение

Пусть масса первого раствора равна $x кг,$ а второго — $y кг.$

Тогда масса кислоты в первом растворе $x⋅ 2100%0%-=0,2x кг,$ а во втором — $y ⋅ 5100%0%-=0,5y кг.$

Для того чтобы найти концентрацию получившегося раствора, посчитаем отношение суммарной массы кислоты к объему нового раствора:

0,2x+-0,5y-⋅100% = 30% x+ y 20x +50y = 30x+ 30y 20y = 10x x = 20 y 10 x = 2 y 1

Ответ: 2:1

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#27494

Смешали 4 литра 35-процентного раствора вещества с 11 литрами 5-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Показать ответ и решение

Объем чистого жидгоко вещества в первом растворе составляет $0,35⋅4$ . Во втором — $0,05⋅11$ . Тогда объем чистого жидкого вещества в получившемся растворе равен $0,35 ⋅4 + 0,05⋅11$ . Следовательно, доля получившегося раствора равна

0,35-⋅4-+-0,05⋅11 = 1,95= 0,13 4 + 11 15

А сама концентрация равна $13%$

Ответ: 13%

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#25056

Семь одинаковых рубашек дешевле одной куртки на 9%. На сколько процентов десять таких же рубашек дороже одной куртки?

Показать ответ и решение

В условии цену рубашек сравнивают с ценой куртки, то есть цена одной куртки равна 100%. Семь рубашек дешевле куртки на 9%, то есть их стоимость составляет $100% − 9% =91%$ от стоимости куртки.

Тогда цена одной рубашки выражается как $917% = 13%$ от стоимости куртки.

Теперь можем посчитать цену для 10 рубашек

10⋅13% = 130%

Тогда 10 рубашек дороже куртки на $130% − 100% = 30%.$

Ответ: 30%

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#25049

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислот различной концентрации. Если слить их вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 37% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится во втором растворе?

Показать ответ и решение

Обозначим процент кислоты в первом растворе за $x%,$ во втором — за $y%.$

Тогда в первом растворе будет $30⋅1x00-$ кг кислоты, во втором — $42⋅1y00-$ кг кислоты. Если слить растворы вместе, то получится раствор массой $30+ 42= 72$ кг, содержащий

30⋅ x--+ 42 ⋅-y-= 30x+-42y кг кислоты 100 100 100

При этом известно, что процент кислоты в таком растворе равен 40%. Тогда

30x+-42y= 72⋅-40 ⇔ 30x + 42y = 2880 ⇔ 5x +7y = 480 100 100

Если смешать равные массы $S$ этих растворов, то получим раствор массой $2S$ кг, содержащий

x y x+ y S ⋅100 + S ⋅100 = S ⋅100-кг кислоты

При этом известно, что процент кислоты в таком растворе равен 37%. Тогда

S ⋅ x+-y-= 2S⋅-37 ⇔ S (x +y)= 74S ⇔ x+ y = 74 100 100

Составим и решим систему из полученных уравнений для $x$ и $y :$

$pict$

Получили, что $y = 55.$

Тогда во втором растворе 55% кислоты.

Ответ: 55

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2