Нахождение углов в окружности, нахождение площади —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ОГЭ - Математика
Нахождение углов в окружности, нахождение площади

Тема 16. Окружность

16.01 Нахождение углов в окружности, нахождение площади

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела окружность

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57324

В угол $C$ величиной $84∘$ вписана окружность, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B,$ точка $O$ — центр окружности. Найдите угол $AOB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то

∠OAC = 90∘, ∠OBC = 90∘.

В четырёхугольнике сумма углов равна $360∘,$ значит,

∠AOB = 360∘− ∠OAC − ∠OBC − ∠ACB = 360∘− 90∘ − 90∘− 84∘ = 96∘

Ответ: 96

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47086

На окружности отмечены точки $A$ и $B$ так, что меньшая дуга $AB$ равна $92∘.$ Прямая $BC$ касается окружности в точке $B$ так, что угол $ABC$ острый. Найдите угол $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, поэтому

1 ⌣ 1 ∘ ∘ ∠ABC = 2AB = 2 ⋅92 = 46

Ответ: 46

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#47084

Окружность с центром в точке $O$ описана около равнобедренного треугольника $ABC,$ в котором $AB = BC$ и $∠ABC = 57∘.$ Найдите угол $BOC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то $∠BAC = ∠BCA.$

По теореме о сумме углов треугольника

∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180∘ 2∠BAC = 180∘− ∠ABC ∘ ∘ ∘ ∠BAC = 180--− ∠ABC-= 180-−-57-= 61,5∘ 2 2

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, поэтому

∠BOC = 2∠BAC = 2 ⋅61,5∘ = 123∘

Ответ: 123

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#46668

Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A,$ $B$ и $C.$ Известно, что $∠ABC = 61∘$ и $∠OAB = 8∘.$ Найдите угол $BCO.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A,$ $B$ и $C.$ Тогда $AO = BO = CO$ как радиусы окружности. Треугольник $ABO$ — равнобедернный, значит, $∠OBA = ∠OAB =8∘.$ Аналогично, в треугольнике $OBC$ равны углы $∠OBC = ∠BCO.$

Заметим, что $∠ABC =∠OBA + ∠OBC.$ Тогда $∘ ∘ ∘ ∠BCO = ∠OBC = ∠ABC − ∠OBA = 61 − 8 = 53.$

$PIC$

Ответ: 53

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#42855

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $88∘.$ Найдите угол $ABO.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть касательные в точках $A$ и $B$ пересекаютя в точке $K.$ Так как радиус окружности, проведённый через точку касания, перпендикулярен касательной, то

∠KAO = ∠KBO = 90∘

$PIC$

По условию $∘ ∠AKB = 88 .$ Рассмотрим четырехугольник $AKOB.$ Так как сумма углов четырехугольника равна $∘ 360 ,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠AOB = 360 − ∠AKB − ∠KBO − ∠KAO = 360 − 88 − 90 − 90 = 92

В треугольнике $AOB$ $AO = OB$ как радиусы, значит, треугольник $AOB$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABO = ∠BAO

По теореме о сумме углов треугольника

∠AOB + ∠ABO + ∠BAO = 180∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 2∠ABO = 180 − ∠AOB = 180 − 92 = 88 ∠ABO = 88∘ =44∘ 2

Ответ: 44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#41477

Окружность с центром в точке $O$ описана около равнобедренного треугольника $ABC,$ в котором $AB = BC$ и $∠ABC = 107∘.$ Найдите величину угла $BOC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Треугольник $ABC$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠BAC = ∠BCA

По теореме о сумме углов треугольника

∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180∘ 2∠BAC + ∠ABC =180∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAC = 180-−-∠ABC- = 180-−-107--= 36,5∘ 2 2

$∠BAC$ — вписанный и опирается на дугу $BC,$ $∠BOC$ — центральный и опирается на дугу $BC.$ Так как вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности, то

∘ ∘ ∠BOC = 2∠BAC = 2⋅36,5 =73

Ответ: 73

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#28207

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром $O$ пересекаются под углом $82∘$ . Найдите угол $ABO$ . Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть касательные пересекаются в точке $C$ . $OA$ и $OB$ радиусы, проведенные к касательным $AC$ и $BC$ соответственно, значит, $∠OAC = ∠OBC = 90∘$ . Тогда по сумме углов в четырехугольнике $OABC$ :

∠AOB = 360∘ − (∠OAC + ∠OBC + ∠ACB ) = 360∘ − (90∘ + 90∘ + 82∘) = 98∘

$PIC$

Рассмотрим треугольник $AOB$ . Он равнобедренный, так как $OA = OB$ , значит, $∠BAO = ∠ABO$ . Тогда по сумме углов треугольника $AOB$

∘ ∘ ∘ ∘ 82∘ ∘ ∠BAO + ∠ABO = 2∠ABO = 180 − ∠AOB = 180 − 98 = 82 ⇒ ∠ABO = 2 = 41

Ответ: 41

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#26587

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $56∘$ . Найдите угол $ABO$ . Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Отметим точку пересечения касательных $D$ . Так как $DA$ и $DB$ — касательные к одной окружности, то $DA = DB$ ит треугольник $DAB$ — равнобедренный. Отсюда