Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через вершину конуса проходит плоское сечение Точки и делят длину окружности основания конуса в отношении Угол
а) Докажите, что площадь сечения равна
б) Найдите объем конуса, если площадь равна 42.
а) Пусть — центр основания конуса. Так как точки и делят окружность основания на две дуги, которые относятся как 1:5, то можно меньшую дугу принять за а большую за Тогда вся окружность равна следовательно, меньшая дуга составляет от всей окружности, то есть в градусах равна
Таким образом, как центральный угол. Так как — радиусы, то равнобедренный. Поскольку один из его углов равен , то равносторонний и
Проведем также является и медианой. Тогда для прямоугольного треугольника и треугольника имеем:
б) Из формулы площади треугольника находим радиус основания конуса:
Тогда по теореме Пифагора в треугольнике
Тогда объем конуса равен
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду. Общая высота пирамиды и конуса равна , а радиус вписанной в конус сферы равен 1.
а) Докажите, что данная сфера касается боковых граней пирамиды, причем точки касания лежат на апофемах.
б) Найдите разность объемов пирамиды и конуса.
а) Пусть дана пирамида , — точка пересечения диагоналей основания . По свойству правильной пирамиды — ее высота, следовательно, и высота конуса. Пусть — центр сферы, вписанной в конус, следовательно, лежащий на . Тогда — радиус этой сферы.
Окружность основания конуса касается стороны в ее середине. Назовем эту точку касания . Тогда , — радиус основания конуса. Рассмотрим . Проведем . Так как — проекция на плоскость и , то по ТТП и . Следовательно, перпендикулярна двум прямым и из плоскости , следовательно, . Значит, — точка касания сферы с гранью , лежащая на . А так как — середина , то по определению — апофема грани . Для других граней пирамиды доказательство аналогично, так как пирамида правильная.
Чтд.
Заметим, что — образующая конуса и — одна из точек касания сферы с боковой поверхностью конуса.
б) Пусть сторона основания равна . (так как — средняя линия в ).
Прямоугольные по острому углу ( — общий), следовательно,
Следовательно,
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Шарик мороженого разрезали пополам. Из одной половинки шарика хотят вырезать пирамидальную фигурку мороженого так, что основание этой пирамиды лежит в круге сечения, вершина лежит на поверхности шарика, а объем такой пирамидальной фигурки наибольший.
а) Докажите, что объем пирамиды равен где — радиус шарика мороженого.
б) Найдите если площадь треугольника равна где — середины ребер и соответственно.
а) По формуле площади произвольного четырехугольника имеем:
Следовательно, если — диаметры сферы и то есть Следовательно, — квадрат.
Расстояние от точки до плоскости наибольшее, если и — радиус сферы. Тогда объем пирамиды равен
Что и требовалось доказать.
б) Проведем где Тогда и
Так как то следовательно, по теореме о трех перпендикулярах где
Далее имеем:
Тогда по теореме Пифагора в треугольнике
Так как , то площадь треугольника равна
б) 16
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан параллелепипед .
а) Докажите, что около параллелепипеда можно описать сферу тогда и только тогда, когда он прямоугольный.
б) Найдите площадь поверхности данного параллелепипеда, если его объем равен 8, а радиус сферы, описанной около параллелепипеда, равен .
а) Если сфера описана около параллелепипеда, то ее центр находится на одинаковом расстоянии от всех вершин параллелепипеда.
Будем сокращенно записывать как .
Пусть — центр сферы. Расстояния от точки до вершин одинаковы и равны .
Проведем . Рассмотрим , , , . Они равны как прямоугольные по общему катету и гипотенузе. Следовательно, равноудалена от вершин , то есть — центр описанной около окружности. Если около параллелограмма можно описать окружность, то он — прямоугольник.
Аналогично поступаем с каждой гранью и получаем, что все его грани — прямоугольники. Это по определению и есть прямоугольный параллелепипед.
Все грани — прямоугольники. Рассмотрим прямую , где и — центры нижнего и верхнего оснований соответственно (точки пересечения диагоналей). параллельна боковым ребрам и перпендикулярна основаниям. Пусть — середина . Так как расстояния от точки до вершин равны, расстояния от до вершин равны, а также все эти расстояния равны между собой, имеем: треугольники как прямоугольные по двум катетам. Следовательно, гипотенузы равны, то есть расстояния от точки до всех вершин одинаковы. Значит, около него можно описать окружность.
Зааметим, что диагонали параллелепипеда пересекают в точке , следовательно, центр сферы, описанной около параллелепипеда есть точка пересечения его диагоналей, причем диагонали являются диаметрами сферы.
б) Обозначим ребра как , , , как показано на рисунке.
В пункте а) мы доказали, что точка пересечения диагоналей есть центр описанной сферы. Следовательно, половина диагонали параллелепипеда есть радиус этой сферы. То есть .
Нам требуется найти площадь полной поверхности , то есть выражение .
Известно, что , .
По неравенству о среднем
Равенство достигается тогда и только тогда, когда .
Следовательно,
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В шар вписана призма .
а) Докажите, что призма прямая и около оснований призмы можно описать окружности.
б) Пусть и призма является правильной. Известно, что объем призмы равен , прямая образует с плоскостью угол . Найдите площадь поверхности шара.
Сечение шара многоугольником — окружность с центром в точке , и все вершины этого многоугольника лежат на этой окружности, следовательно, он вписанный. Аналогично вписан в окружность с центром .
Пусть — центр шара. Проведем и Следовательно, лежат на одной прямой, перпендикулярной основаниям (так как основания параллельны). Рассмотрим — прямоугольник, так как , , . Следовательно, , то есть перпеникулярна основаниям призмы. Значит, призма прямая.
б) , — центры оснований. Проведем . Тогда следовательно, — проекция на плоскость . Значит, . Получили прямоугольный равнобедренный , значит, . Пусть , Тогда
— середина , следовательно, из
Объем призмы равен
Следовательно, площадь поверхности шара равна
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан конус с вершиной . На окружности его основания выбраны точки так, что .
Точка выбрана на дуге окружности основания конуса, не содержащей точки , так, что объем пирамды наибольший.
а) Докажите, что объем пирамиды равен
где — радиус основания конуса.
б) Известно, что радиус основания конуса равен , . Найдите расстояние от точки до плоскости .
а) Боковые ребра пирамиды равны, так как это образующие конуса. Так как плоские углы при вершине равны, то пирамида правильная, следовательно, равносторонний. Рассмотрим основание. Наибольший объем пирамида имеет тогда, когда наибольшую площадь имеет . Так как основание этого треугольника фиксировано, то наибольшую площадь он имеет, когда высота к наибольшая. Следовательно, точка — середина дуги . Тогда , следовательно, следовательно, — диаметр.
Если — радиус окружности, описанной около правильного треугольникав, то сторона треугольника равна . Следовательно,
Найдем — высоту. Пусть . Тогда .
, следовательно, из :
Следовательно, объем
Чтд.
б) — перпендикуляр на . Пусть . Тогда если , то по подобию .
следовательно, , следовательно, то есть
Таким образом,
Пусть . Тогда для :
Следовательно,
Тогда
Так как , то следовательно,
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан конус с вершиной , радиус основания которого равен . На окружности его основания выбраны точки так, что углы , , прямые. Точка выбрана на дуге окружности основания конуса, не содержащей точки , так, что объем пирамиды наибольший.
а) Докажите, что — диаметр.
б) Найдите расстояние от точки до плоскости .
а) Боковые ребра пирамиды равны, так как это образующие конуса. Так как плоские углы при вершине равны, то пирамида правильная, следовательно, равносторонний. Рассмотрим основание. Наибольший объем пирамида имеет тогда, когда наибольшую площадь имеет . Так как основание этого треугольника фиксировано, то наибольшую площадь он имеет, когда высота к наибольшая. Следовательно, точка — середина дуги . Тогда , следовательно, следовательно, — диаметр. Чтд.
б) — перпендикуляр на . Пусть . Тогда ессли , то по подобию .
следовательно, , следовательно, то есть
Таким образом,
У правильного треугольника со стороной радиус описанной окружности равен от высоты треугольника, то есть Следовательно, . Из прямоугольного равнобедренного треугольника
Тогда
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания, равной . Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды.
а) Пусть — высота основания. Докажите, что
б) Найдите радиус основания конуса.
а) Пусть , — центр вписанной в окружности. Тогда , следовательно, ,
Рассмотрим :
Тогда
Чтд.
б) Так как то , тогда из
Решая это уравнение, получаем
Тогда следовательно,
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пирамиде грани и перпендикулярны, . Тангенс угла между прямой и плоскостью равен 5. Точка выбрана на ребре так, что . Точка лежит на прямой и равноудалена от точек и . Центр сферы, описанной около пирамиды , лежит на ребре , а площадь этой сферы равна .
а) Докажите, что грани и представляют собой прямоугольные треугольники.
б) Найдите объем пирамиды .
а) По условию центр описанной сферы лежит на . Следовательно, так как он равноудален от точек и , то центр — середина . Также имеем . Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из прямого угла треугольника, следовательно, Чтд.
б) Отметим — середину . Тогда . Если провести перпендикуляр из точки на плоскость , то его основание будет лежать на (так как плоскости и перпендикулярны). Следовательно, — проекция на . Тогда из следует, что
Проведем и восстановим из точки перпендикуляр к , который пересечет в точке . Тогда точка лежит в плоскости, перпендикулярной и проходящей через его середину, следовательно, любая точка этой плоскости равноудалена от и , следовательно,
По теореме Пифагора ; Тогда
, следовательно,
Следовательно,
Площадь сферы равна , следовательно, Тогда , откуда Подставляя это значение в выражение объема получаем
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основанием пирамиды является прямоугольник Плокость перпендикулярна плокости Точка лежит на ребре Точка лежит на прямой и равноудалена от точек и Объем пирамиды равен 48. Центр сферы, описанной около пирамиды , лежит в плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что основание высоты пирамиды делит диагональ в отношении
б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды
а) Так как , то , . Проведем через точку — середину отрезка , прямую , . Проведем , тогда . Следовательно, , следовательно, — плоскость, проведенная через середину отрезка перпендикулярно ему. Значит, любая точка этой плоскости равноудалена от концов этого отрезка. Следовательно, равноудалена от точек и .
Если , то , следовательно, — угол между прямой и плоскостью . Пусть . Тогда , . , следовательно, . Чтд.
б) , следовательно, если , то
Из по теореме Пифагора получаем . Следовательно,
Так как центр описанной сферы лежит в основании , то центр сферы — точка пересечения диагоналей и . Следовательно,
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Около правильной пирамиды описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что боковые ребра пирамиды наклонены под углом к основанию пирамиды.
б) Точка лежит на ребре так, что . Точка лежит на прямоц и равноудалена от точек и . объем пирамиды равен . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды .
а) Так как пирамида правильная, то центр сферы, описанной около пирамиды, лежит на перпендикуляре, проведенном через центр основания. В нашем случае центр основания и есть центр этой сферы. Следовательно, и . Следовательно, прямоугольный и равнобедренный„ то есть . Это и есть угол между ребром и плоскостью основания. Аналогично доказывается для других боковых ребер пирамиды.
б) Пусть — середина . Проведем , . Следовательно, так как , то . Таким образом, в плоскости любая точка равноудалена от точек и , так как лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Продлим до пересечения с получим точку . и .
Рассомтрим основание . Пусть , , , . Следовательно, по теореме Фалеса . Следовательно, по теореме Фалеса , откуда ( — радиус сферы).
.
Следовательно, получаем
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через центр данной сферы проведено сечение. Точка выбрана на сфере, а точки — последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды наибольший. Точки — середины ребер и
а) Докажите, что объем пирамиды равен где — радиус сферы.
б) Найдите если площадь треугольника равна
а) Имеем
Следовательно, , если — диаметры сферы, , то есть . Следовательно, — квадрат. Расстояние от до наибольшее, если , — радиус сферы. Тогда
Чтд.
б) Проведем , . Тогда . Так как , то , следовательно, по ТТП (). , следовательно, , , следовательно, по теореме Пифагора
Так как , то
б) 16
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана сфера радиуса 12. Сечением этой сферы плоскостью является окружность с диаметром Плоскость сечения удалена от центра сферы на расстояние 4. Точка выбрана на сфере, а точка — на окружности так, что объем пирамиды наибольший.
а) Докажите, что две грани пирамиды перпендикулярны.
б) Найдите площадь треугольника где и — середины ребер и соответственно.
а) Пусть — перпендикуляр к плоскости следовательно, — центр окружности, описанной около
Наибольшее расстояние от точки лежащей на сфере, до плоскости достигается, если — один из концов диаметра сферы, проходящего через причем
Площадь наибольшая, если — равнобедренный прямоугольный, то есть Тогда имеем: следовательно, что и требовалось доказать.
б) Пусть По теореме о трех перпендикулярах, так как имеем
По теореме Пифагора из
Следовательно, по теореме Пифагора из
Так как то искомая площадь равна
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Отрезок — диаметр сферы. Точки лежат на сфере так, что объем пирамиды наибольший.
а) Докажите, что
б) Найдите синус угла между прямой и плокостью если — середина ребра
а) Рассмотрим плоскость . Треугольник прямоугольный, , так как опирается на диаметр. Его площадь наибольшая в том случае, если он равнобедренный, то есть . Расстояние от точки до наибольшее, если , то есть — прямоугольный равнобедренный. Тогда , , следовательно, по ТТП . Чтд.
б) Проведем , , . Тогда если — радиус сферы, то ,
Тогда
Следовательно,
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная призма Сфера, центр которой лежит на боковом ребре пересекает ребро в точке которая делит его в отношении и касается плоскости основания призмы и плоскости
а) Докажите, что центр сферы делит ребро в отношении
б) Известно, что Найдите площадь боковой поверхности призмы.
а) Так как , то — точка касания сферы с . Проведем . Следовательно, , , — точка касания сферы и . Заметим, что — квадрат, так как это прямоугольник с равными смежными сторонами, и его стороны равны радиусу сферы. Следовательно, если , то .
Рассмотрим . , следовательно,
Следовательно, , чтд.
б) Так как , то . Следовательно,
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сфера радиуса 2 касается плоскости в точке . В этой же плоскости лежит основание конуса. Прямая, проходящая через центр основания конуса (точку ) и точку сферы, диаметрально противоположную точке , проходит через точку . Точка является точкой касания сферы и конуса (их единственная общая точка).
а) Докажите, что радиус основания конуса равен половине отрезка
б) Найдите высоту конуса, если .
а) Рассмотрим диаметральное сечение сферы плоскостью, проходящей через диаметр . Прямая касается этой окружности в точке . пересекает окружность в точке . — касательная к окружности, . По свойству касательной, проведенной из одной точки к окружности, .
Пусть , . Тогда .
Заметим, что , то . Следовательно, . Следовательно, радиус основания конуса .
б) Проведем , . Рассмотрим : . , следовательно,
Следовательно, , следовательно,
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямую призму, в основании которой лежит ромб с углом , вписан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно .
а) Докажите, что отношение объема призмы к объему цилиндра равно .
б) Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если объем призмы равен 120.
а) Пусть дана призма , , — центры нижнего и верхнего оснований соответственно (точки пересечения диагоналей, центры вписанных окружностей). Следовательно, — ось цилиндра.
Пусть . Тогда , следовательно, перпендикулярна диагонали боковой грани, следовательно, и — радиус основания цилиндра.
Проведем . Получаем прямоугольный равнобедренный треугольник , откуда .
Если — боковое ребро призмы, то
Чтд.
б)
Следовательно,
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Около треугольной призмы, объем которой равен 288, описан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно .
а) Докажите, что отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около оснований данной треугольной призмы, параллелен и равен боковому ребру призмы, а также перпендикулярен основаниям призмы.
б) Пусть призма правильная. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
а) Пусть дана призма . Если около нее описан цилиндр, то основания цилиндра описаны около оснований призмы. Пусть — центры описанных около оснований призмы окружностей. Тогда — ось цилиндра. Следовательно, . Тогда боковые ребра призмы — образующие цилиндра, следовательно, они параллельны и равны .
б) — точка пересечения высот основания , , . , следовательно, , следовательно, , то есть .
, , следовательно,
Так как , то
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Около четырехугольной призмы описан цилиндр.
а) Докажите, что призма является прямоугольным параллелепипедом.
б) Диагональ и меньшая сторона основания призмы образуют угол . Площадь боковой поверхности призмы равна , а расстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания равно . Найдите объем цилиндра.
а) Призма прямая, так как ее боковые ребра параллельны оси цилиндра. Основание призмы вписано в окружность (условие цилиндра), следовательно, является прямоугольном. Таким образом, призма — прямоугольный параллелепипед.
б) Пусть . Расстояние между и скрещивающейс с ней диагональю основания — это . Пусть , тогда , ,
Пусть . Площадь боковой поверхности призмы равна
Тогда
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Внутри правильного тетраэдра расположен конус, вершина которого является серединой ребра . Основание конуса вписано в сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра параллельно прямым и .
а) Докажите, что сечением является квадрат.
б) Найдите объем конуса, если ребро тетраэдра равно 12.
а) Пусть — середина . Тогда равнобедренный, так как и — медианы (высоты) в равных правильных треугольниках. Следовательно,
Назовем сечением . , . Так как , то , . Следовательно, — параллелограмм. Так как , то , то есть — ромб. Так как , , , то — квадрат со стороной .
б) Проведем , . Тогда , следовательно, , следовательно, — высота конуса.
. . Следовательно,
б)