Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Тела движутся поступательно, размеры шарика малы по сравнению с размерами нити, а пуля еще меньше, поэтому будем описывать шарик и пулю моделью материальной точки.

3. Будем считать, что время соударения шарика и пули мало, а значит нить за это время не успевает заметно отклониться, поэтому в момент столкновения все силы направлены вертикально. Следовательно, в ИСО при попадании пули в шарик сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы тел "шарик + пуля ".

4. После попадания пули в шарик при движении тел по вертикальной окружности механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии тел. То есть

Так как изменения механической энергии тела в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу, а в данном случае такой силой является только сила натяжения нити (сопротивлением воздуха пренебрегаем), при этом в любой точке траектории сила натяжения нити перпендикулярна скорости, поэтому работа силы натяжения нити равняется нулю.

5. За нулевой уровень потенциальной энергии примем уровень положения равновесия шара.

Решение
Потенциальная энергия на высоте равна

где – высота подъема, – масса тела, – длина нити, – угол отклонения нити.
Кинетическая энергия в нижней точке

где – скорость шара в нижней точке.
Запишем закон сохранения энергия для движения шарика вниз

Запишем закон сохранения импульс в момент удара и закон сохранения энергии после удара и до подъема на максимальную высоту

где – высота подъема, – масса пули, – скорости шара после столкновения.
Тогда из первого уравнения

Из второго уравнения

Изменение импульса пули