Задачи №15 из ЕГЭ прошлых лет —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83770

Решите неравенство

( ) log (2x2+ 1)+ log -1- +1 ≥ log (-x +1) 11 11 32x 11 16

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(||2x2+ 1 >0 |||{ ( ) -1-+ 1> 0 ⇔ x ∈ −16;− -1 ∪(0;+∞ ) |||| 32x 32 |( x-+ 1> 0 16

На ОДЗ:

( ) log (2x2+ 1)+ log -1- +1 ≥ log (-x +1) 11 11 32x 11 16 ( ) (2x2+ 1) -1- +1 ≥ -x +1 32x 16 x 1 x 16 + 2x2+ 32x + 1 ≥ 16 + 1 2x2 + -1-≥ 0 32x 64x3+ 1 --32x-- ≥0 ( 1] x ∈ −∞;− 4 ∪ (0;+ ∞ )

Потом пересекаем с ОДЗ и получаем ответ

( 1] x ∈ −16;− 4 ∪ (0;+ ∞ )

Ответ:

$( ] −16;− 1 ∪(0;+∞ ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83769

Решите неравенство

( ) ( ) log 1− 1 +log 1 + 1 ≥ log(8x− 1) 3 x 3 x 3

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( || 1− 1> 0 ||||{ x ( ) 1+ 1> 0 ⇔ x∈ 1 ;1 |||| x 8 ||( 8x − 1 > 0

На ОДЗ:

( 1 ) (1 ) log3 x − 1 +log3 x + 1 ≥ log3(8x− 1) ( )( ) log 1 − 1 1+ 1 ≥ log (8x − 1) 3 x x 3 ( ) ( ) 1− 1 1 + 1 ≥ 8x− 1 x x 3 1−-82x-≥ 0 x x∈ (−∞; 0) ∪(0;0,5]

Пересечем полученные решения с ОДЗ и получим

(1 1] a∈ 8 ;2

Ответ:

$( ] 1; 1 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63796

Решите неравенство

log3(3− x)− log3(x + 2) log2(x2)+-log(x4)+-1-≥ 0 3 3

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Знаменатель левой части равносилен

2 2 2 2 2 log3x + 2log3x +1 = (log3 x +1)

Следовательно, ОДЗ неравенства

$pict$

Получаем ОДЗ:

{ } x ∈(− 2;3)∖ − √1;0;√1- 3 3

На ОДЗ знаменатель $(log3x2+ 1)2 >0,$ следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно

log3(3− x)− log3(x + 2) ≥0 3− x ≥x +2 1≥ 2x x≤ 1 2

Пересекая полученные значения с ОДЗ, получаем ответ

( 1 ) ( 1 ) ( 1 ] x∈ − 2;− √-- ∪ − √-;0 ∪ 0;2 3 3

Ответ:

$( ) ( ) ( ] −2;−√1- ∪ −√1-;0 ∪ 0; 1 3 3 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#63795

Решите неравенство

log x2− log x2 log2(2x22−-10x+-312,5)+-1 ≤0 6

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Заметим, что знаменатель левой части представляет собой выражение $a2+ 1> 0$ при любом $a.$ Следовательно, ОДЗ неравенства:

$pict$

Так как знаменатель дроби в левой части на ОДЗ положителен, то на ОДЗ неравенство равносильно

2 2 log2x − log3x ≤ 0

При $x2 = 1,$ то есть $x = ±1$ неравенство равносильно

log21− log31 ≤0 ⇔ 0 − 0≤ 0 ⇔ 0≤ 0

Получили верное неравенство, следовательно, $x= ±1$ являются решением.

При $x⁄= ±1$ неравенство можно преобразовать к виду

--1---− --1---≤ 0 logx22 logx23 ---logx2-32--- logx22 ⋅logx23 ≤ 0

Применим метод рационализации для логарифмов:

( ) -----(x2−-1)-32 −-1----- (x2− 1)(2− 1)(x2− 1)(3 − 1) ≤ 0 (x− 1)(x +1) (x−-1)2(x-+1)2 ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x∈ (−1;1)

Объединим $x= ±1$ с $x ∈ (− 1;1),$ а затем пересечем с ОДЗ и получим окончательно

x ∈[−1;0)∪(0;1]

Ответ:

$[−1;0)∪(0;1]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#63793

Решите неравенство

( 3 2 ) 4 log0,1 x − 5x − 25x+ 125 ≤ log0,01(x− 5)

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

$pict$

Отсюда по методу интервалов получаем

x∈ (−5;5)∪(5;+∞ )

На ОДЗ исходное неравенство равносильно

log (x− 5)2(x+ 5)≤ log (x− 5)2 0,1 0,1 (x− 5)2(x+ 5)≥ (x− 5)2 2 (x − 5) (x+ 4)≥ 0

Отсюда по методу интервалов получаем

x∈ [−4;+∞ )

Пересечем полученные значения с ОДЗ и окончательно получим

x∈ [−4;5)∪(5;+∞ )

Ответ:

$[−4;5)∪(5;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63792

Решите неравенство

(3 2 ) 4 log0,5x − 3x − 9x+ 27 ≤ log0,25(x− 3)

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Адыгея

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

$pict$

Получаем $x ∈ (− 3;3)∪ (3;+ ∞).$

На ОДЗ неравенство равносильно

2 2 log0,5(x− 3)(x+ 3)≤ log0,5(x− 3) (x− 3)2(x+ 3)≥ (x− 3)2 (x − 3)2(x+ 2)≥ 0

Тогда $x ∈[−2;+∞ ).$ Пересечем полученные значения с ОДЗ и получим ответ:

x∈ [−2;3)∪(3;+∞ )

Ответ:

$[−2;3)∪(3;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63791

Решите неравенство

( ( 2 )) 2 log25 (x− 4) x − 2x− 8 ≥ 0,5log5(x− 4) + 1.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

$pict$

На ОДЗ неравенство равносильно

( 2 ) 2 log25 (x−( 4)(x +2) ≥)log25(x −( 4) + log25)25 log25(x − 4)2(x +2) ≥ log25 25(x − 4)2 (x− 4)2(x +2)≥ 25(x− 4)2 2 (x − 4)(x+ 2− 25)≥ 0 (x− 4)2(x − 23)≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x42−−+3$

Получаем $x ∈ {4} ∪[23;+ ∞).$ Пересекая данные значения с ОДЗ, получаем окончательный ответ: $x∈ [23;+∞ ).$

Ответ:

$[23;+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#63279

Решите неравенство

---log2x2−-log3x2----≤ 0 log26(2x2− 5x + 12,5)+ 1

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ неравенства:

$pict$

Решим неравенство на ОДЗ. Заметим, что знаменатель дроби всегда положительный, так как квадрат логарифма — число неотрицательное. Тогда неравенство равносильно следующему:

log2x2 − log3x2 ≤ 0,

которое обращается в равенство при $x = ±1.$

Пусть теперь $x ⁄= ±1.$ Тогда логарифмы можно преобразовать и получить такое неравенство:

--1---− --1---≤ 0 logx22 logx23 logx2-3−-logx22 logx2 2logx23 ≤ 0

Применим метод рационализации к числителю, а также к каждому логарифму в знаменателе:

2 ------(x-− 1)(3−-2)---- ≤ 0 (x2− 1)(3− 1)(x2− 1)(2 − 1) -----1----- (x− 1)(x +1) ≤ 0

Решением этого неравенства является промежуток $(−1;1).$ С учётом ОДЗ $(x ⁄= 0)$ и того, что $x= ±1$ являются решениями, получаем, что $x ∈[−1;0)∪(0;1].$

Ответ:

$[−1;0)∪(0;1]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#63278

Решите неравенство

log (x3− 2x2− 4x+ 8)≤ log (x − 2)4 0,2 0,04

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Самарская область

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

$pict$

Решим неравенство на ОДЗ. Так как $log2b4 = log b2, a a$ то неравенство равносильно

log ((x+ 2)(x − 2)2)≤ log (x− 2)2 0,2 0,2 (x+ 2)(x − 2)2 ≥ (x− 2)2 (x − 2)2(x+ 1)≥ 0 x ≥ −1

Пересекая полученные значения с ОДЗ, получаем, что

x∈ [−1;2)∪(2;+∞ )

Ответ:

$[−1;2)∪(2;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#63277

Решите неравенство

log (x3 − 3x2+ 3x− 1)≥ log (x2 − 1)− 5 8 2

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Татарстан

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

$pict$

Решим неравенство на ОДЗ. Так как $log2a= log8a3,$ то неравенство равносильно

( ) log8(x− 1)3+ 5≥ log8 (x− 1)3(x+ 1)3 log (x− 1)3+ log 85 ≥ log ((x− 1)3(x+ 1)3) 8 ( 8) 8( ) log8(x − 1)3⋅85 ≥ log8 (x− 1)3(x+ 1)3 (x− 1)3⋅323− (x − 1)3(x +1)3 ≥ 0 3 3 3 (x − 1) ⋅(32 − (x +1) )≥ 0

По ОДЗ $3 (x− 1) > 0,$ следовательно, на ОДЗ неравенство равносильно

323− (x+ 1)3 ≥0 3 3 (x +1) ≤ 32 x +1 ≤32 x≤ 31

Пересекая полученные значения с ОДЗ, получаем, что $x ∈(1;31].$

Ответ:

$(1;31]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#63276

Решите неравенство

log ((x− 4)(x2− 2x− 8)) +1 ≥ 0,5log(x− 4)2. 25 5

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ неравенства:

$pict$

На ОДЗ преобразуем логарифмы:

( ( )) ( ) log25 (x − 4) x2− 2x− 8 = 0,5log5 (x − 4)2(x+ 2) =0,5log5(x−4)2+0,5log5(x+2).

Тогда исходное неравенство примет вид:

0,5 log5(x − 4)2+ 0,5 log5(x + 2)+ 1 ≥0,5log5(x− 4)2 0,5log5(x+ 2)≥ −1 log5(x + 2) ≥− 2 log (x +2)≥ log 0,04 5 5 x + 2≥ 0,04 x ≥ −1,96

С учётом ОДЗ получаем, что $x ∈ [−1,96;4)∪ (4;+ ∞).$

Ответ:

$[−1,96;4)∪ (4;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#63275

Решите неравенство

(log2 (x+ 3)− log (x2+ 6x + 9)+1) ⋅log (x +2)≤ 0 0,25 4 4

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

( || x+ 3> 0 |{ 2 || x + 6x+ 9> 0 ⇒ x > −2 |( x+ 2> 0

По свойствам логарифмов на ОДЗ имеем:

log4(x2+ 6x + 9) = log4(x + 3)2 = 2log4(x +3) ( )2 log20,25(x+ 3)= log0,25(x +3) = (log4−1(x+ 3))2 = =(− log (x+ 3))2 = (log (x+ 3))2 4 4

Тогда получаем

2 (log4(x +3)− 1) ⋅log4(x+ 2)≤ 0

Отсюда имеем одно из двух условий.

Либо первое:

log4(x+ 3)− 1 = 0 ⇔ x+ 3= 4 ⇔ x = 1

Либо второе:

log4(x+ 2)≤ 0 ⇔ 0< x+ 2≤ 1 ⇔ − 2< x ≤− 1

С учётом ОДЗ получаем

x ∈(−2;−1]∪ {1}

Ответ:

$(−2;−1]∪ {1}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#58734

Решите неравенство

-------12------ -----7------- (log2x+ 4log x)2 + log23x+ 4log3x + 1≥ 0 3 3

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $log23x + 4log3x =t.$ Тогда получим следующее неравенство:

$pict$

Пусть $log3x= s.$ Тогда $t= s2+ 4s.$ Значит,

$pict$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$s−−−−0++−−++4321$

Таким образом, $s ∈(−∞; −4)∪ (− 4;− 3]∪{−2} ∪[−1;0)∪(0;+∞ ).$ Сделаем обратную замену:

$pict$

Пересекая полученные значения c ограничениями логарифма $x> 0,$ получаем

( ) ( ] { } [ ) x ∈ 0;-1 ∪ -1;-1 ∪ 1 ∪ 1;1 ∪(1;+ ∞ ) 81 81 27 9 3

Ответ:

$( ) ( ] { } [ ) 0; 1 ∪ 1; 1- ∪ 1 ∪ 1 ;1 ∪ (1;+∞ ) 81 81 27 9 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#57006

Решите неравенство

x 2 x+2 4x +7 ⋅2x +20 2 + 2x−-4 + 4x-− 3-⋅2-x+2-+32 ≤ 1

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $2x = t.$ Тогда неравенство примет вид

$pict$

Решим полученное неравенство методом интервалов.

$t3481+−−+−$

Получаем

(|{ [t≤ 1 3≤ t< 8 |( t⁄= 4

Сделаем обратную замену:

( [ ( [ |{ 2x ≤ 1 |{ x≤ 0 | 3≤ 2x < 8 ⇔ | log23≤ x < 3 ( 2x ⁄= 4 ( x⁄= 2

Получаем ответ $x ∈ (− ∞;0]∪[log23;2)∪(2;3).$

Ответ:

$(−∞; 0]∪[log23;2)∪(2;3)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#57005

Решите неравенство

9x − 3x+1 − 19 9x+1− 3x+4+ 2 x ---3x−-6----+ ----3x−-9----≤ 10⋅3 + 3

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $3x = t.$ Тогда неравенство примет вид

t2− 3t− 19 9t2− 81t+ 2 --t−-6---+ ---t−-9--- ≤ 10t+ 3

Выделим целую часть в дробях:

$pict$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$t369+−+−$

Отсюда получим

[ t≤ 3 6< t< 9

Сделаем обратную замену:

[3x ≤ 3 [x ≤1 6< 3x < 9 ⇔ log 6 < x< 2 3

Окончательно получаем

x∈ (−∞; 1]∪(log36;2)

Ответ:

$(−∞; 1]∪(log36;2)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#56119

Решите неравенство

x+ 13 x x 27---−x+110⋅9-+-1x0⋅3-−-5≤ 3x+ -x1-- + -x+11--- 9 2 − 10⋅3 + 3 3 − 2 3 − 1

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $3x = t.$ Тогда неравенство примет вид

3t3− 10t2+ 10t− 5 1 1 ---3t2−-10t+-3---≤ t+ t−-2 + 3t−-1 ⇔ 3t3−-10t2+-10t− 5 -1-- --1-- (3t− 1)(t− 3) ≤ t+ t− 2 + 3t− 1 ⇔ (∗) t+ ---7t−-5--- ≤t+ ----4t-− 3-- ⇔ (3t− 1)(t − 3) (3t− 1)(t− 2) 7t− 5 4t− 3 (3t− 1)(t− 3) ≤ (3t−-1)(t−-2) ⇔ ----3t2−-4t+-1---- (3t− 1)(t− 3)(t− 2) ≤ 0 ⇔ ---(3t−-1)(t−-1)---≤ 0 (3t− 1)(t− 3)(t− 2)

$(∗)$ здесь разделим в столбик числитель $3t3− 10t2+ 10t− 5$ на $(3t− 1)(t− 3).$

Решим полученное неравенство методом интервалов.

$1 t123+−+−−3$

Тогда получаем

(| [ (|[ x ( [ |{ t≤ 1 |{ 3 ≤ 1x |{ x ≤0 | 2<1t< 3 ⇒ | 2< 31 < 3 ⇔ | log32 < x< 1 |( t⁄= 3 |(3x ⁄= 3 ( x⁄= − 1

Итоговый ответ: $x∈ (−∞; −1)∪(− 1;0]∪ (log3 2;1).$

Ответ:

$(−∞; −1)∪ (− 1;0]∪ (log32;1)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#56118

Решите неравенство

4x− 2x+3+ 7 2x− 9 1 4x−-5⋅2x+-4 ≤ 2x−-4 + 2x−-6

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть:

4x− 2x+3+ 7 (2x)2− 8⋅2x+ 7 4x−-5⋅2x+-4 = (2x)2−-5⋅2x+-4

Сделаем замену $2x = t> 0.$ Тогда получим

t2 − 8t+ 7 t− 9 1 t2-− 5t+-4-≤ t− 4-+ t−-6

Заметим, что $t2− 8t+ 7= (t − 1)(t− 7),$ а $t2− 5t+ 4= (t− 1)(t− 4).$ Тогда

(t−-1)(t-− 7)-≤ t− 9-+-1- (t− 1)(t − 4) t− 4 t− 6

Сократим левую часть на $(t− 1),$ запомнив, что $t⁄= 1.$

t−-7≤ t−-9 + -1-- t− 4 t− 4 t− 6 t−-7 − t−-9− -1--≤ 0 t− 4 t− 4 t− 6 (t−-6)((t−-7)−-(t−-9))− (t−-4) (t− 4)(t− 6) ≤ 0 (t− 6)(t− 7− t+ 9)− t+ 4 ------(t−-4)(t−-6)------≤ 0 2t−-12-−-t+4-≤ 0 (t− 4)(t− 6) ---t−-8---- (t− 4)(t− 6) ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$t468+−+−$

Пересекая с условиями $t> 0$ и $t ⁄=1,$ получаем $t∈ (0;1)∪(1;4)∪(6;8].$

Сделаем обратную замену:

0< t< 1 ⇔ 0 < 2x < 1 ⇔ x< 0 x 0 x 2 1 < t< 4 ⇔ 1< 2 < 4 ⇔ 2 < 2 <2 ⇔ 0 < x< 2 6 < t≤ 8 ⇔ 6< 2x ≤ 8 ⇔ 2log26 < 2x ≤ 23 ⇔ log2 6< x≤ 3

Таким образом, $x ∈(− ∞;0)∪ (0;2)∪(log2 6;3].$

Ответ:

$(−∞; 0)∪(0;2)∪(log26;3]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#65020

Решите неравенство

log (32x) log(x)− 5 log (x16)+ 18 log2(x)−-5 +-log2(32x) ≥ -lo2g2(x)−-25-- 2 2 2

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Ограничения логарифмов: $x > 0.$

Сделаем замену $y = log2x.$ Тогда неравенство при $x> 0$ равносильно

$y-+5 y−-5 16y-+18- y − 5 + y+ 5 ≥ y2− 25 y2+ 10y +25 +y2− 10y+ 25− 16y− 18 ----------(y+-5)(y-− 5)----------≥ 0 ( ) 2-y2−-8y+-16- (y+ 5)(y − 5) ≥ 0 2 --2(y−-4)-- ≥0 (y+ 5)(y − 5)$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$y−45+−−+ 5$

Получаем

⌊ y < −5 |⌈y = 4 y > 5

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ log2x< − 5 | 0< x< -1 |⌈ log2x= 4 ⇔ |⌈ x= 16 32 log2x> 5 x> 32

Ответ:

( 1) x ∈ 0;32 ∪ {16} ∪(32;+ ∞ )

Ответ:

$( ) 0; 1 ∪ {16}∪(32;+∞ ) 32$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#65019

Решите неравенство

log3x 2 5 ---(-x)-≥ log3-x + log23x-−-log3(x3). log3 27

(ЕГЭ 2023, резервная волна, Сибирь)

Показать ответ и решение

Ограничения логарифмов: $x > 0.$

Сделаем замену $y = log3x.$ Тогда неравенство при $x> 0$ равносильно

$--y- 2 ---5-- y − 3 ≥ y + y2 − 3y y2− 2(y − 3)− 5 ---y(y−-3)----≥ 0 -(y-− 1)2≥ 0 y(y− 3)$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$y013+−−+$

Получаем

⌊ |y < 0 ⌈y = 1 y > 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ log3x < 0 0< x< 1 |⌈log3x = 1 ⇔ |⌈ x= 3 log3x > 3 x> 27

Ответ:

x∈ (0;1)∪ {3}∪(27;+∞ )

Ответ:

$(0;1) ∪{3}∪ (27;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#65018

Решите неравенство

log (25x) log(x)− 2 6 − log (x4) log-5(x)−-2 +-lo5g-(25x)-≥ --log2x5−-4- 5 5 5

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения логарифмов: $x > 0.$

Сделаем замену $t=log5x.$ Тогда неравенство при $x > 0$ равносильно

$t+2- t−-2 6-− 4t t− 2 + t+ 2 ≥ t2− 4 (t+ 2)2+ (t− 2)2 6− 4t --(t− 2)(t+2)- − t2−-4-≥ 0 2t2+-8−-6+-4t≥ 0 (t− 2)(t+ 2) 2(t+ 1)2 (t−-2)(t+-2) ≥ 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$t−−2+−−+ 21$

Получаем совокупность

⌊ t< −2 |⌈t= −1 t> 2

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ |log5x < −2 |0< x< 125- ⌈log5x = −1 ⇔ ⌈x= 15 log5x > 2 x> 25

Тогда окончательно получаем

( ) { } -1 1 x∈ 0;25 ∪ 5 ∪(25;+∞ )

Ответ:

$( ) { } 0; 1 ∪ 1 ∪ (25;+ ∞) 25 5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».