Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку
а) По определению логарифма имеем:
б) Очевидно, что
Далее имеем:
Таким образом, корень попадает в требуемый промежуток.
Кроме того, имеем:
Таким образом, корень не попадает в требуемый промежуток.
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку
а) Запишем ограничения, определяющие ОДЗ:
|
|
|
Таким образом,
Используя формулу перехода к новому основанию преобразуем правую часть уравнения. Напомним, что — это натуральный логарифм то есть логарифм по основанию
б) Единственный корень уравнения, левая и правая граница отрезка — иррациональные числа. Проведём необходимые сравнения:
Предупреждение: без данных сравнений даже за верный ответ поставят 0 баллов как за недостаточно обоснованное решение.
Перейдём к системе. Рассмотрим, верна ли она при найдённом значении :
|
Заметим, что и откуда имеем:
|
Система верна, следовательно, корень лежит на отрезке.
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Воспоьзуемся формулами для логарифмов:
Замена
решая квадратное уравнение, находим его корни: и
Обратная замена:
1)
2)
Проверим полученные корни, подставив их в начальное уравнение:
При
получили верное числовое равенство, следовательно, является корнем уравнения.
При
получили верное числовое равенство, следовательно, является корнем уравнения.
б) Отберем корни на промежутке
так как
так как
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Найдем ОДЗ:
|
|
Итоговая ОДЗ:
Внесем 2 в степень логарифма и запишем сумму логарифмов, как логарифм от произведения подлогарифмических выражений:
Применим формулу разности квадратов:
Получаем два случая:
1) и 2)
Корнями первого уравнения являются числа и
Корнем второго уравнения является число
Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ.
так как следовательно, ОДЗ.
Сравним и
поэтому не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.
очевидно входит в первый интервал, определяющий ОДЗ.
б) Отберем корни на промежутке
Мы знаем, что тогда поэтому
Корень , так как
Тогда сравним и
поэтому следовательно,
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Внесем внутрь логарифма и перенесем второй логарифм в правую часть:
По теореме Виета корнями являются: и
Так изначально мы не накладывали никаких условий, то необходимо провести проверку полученных корней:
- 1.
- Подставим в исходное уравнение:
Получили верное числовое равенство, следовательно, является корнем нашего уравнения.
- 2.
- Подставим в исходное уравнение:
Получили верное числовое равенство, следовательно, является корнем нашего уравнения
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Найдем ОДЗ:
|
|
Итоговая ОДЗ:
Так как в ОДЗ мы определили, что не входит в область допустимых значений, т.к строго меньше 1, то мы можем преобразовать левую часть уравнения, не боясь потерять корни:
С учетом, что знаменатель можно отбросить:
Посчитаем дискриминант:
Для определения принадлежности корней к ОДЗ сравним:
- 1.
- и
откуда следовательно, входит в ОДЗ и является корнем нашего уравнения.
- 2.
- и
откуда следовательно, не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Найдем ОДЗ:
|
|
Итоговая ОДЗ:
Для решения уравнения преобразуем его:
Посчитаем дискриминант:
— посторонний корень, т.к. не удовлетворяет ОДЗ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Найдем ОДЗ:
Решим на ОДЗ.
Под условие подходят корни
б) Так как , то и первый корень не принадлежит отрезку
Так как то и второй корень принадлежит указанному отрезку.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
На ОДЗ уравнение равносильно
Подходит по ОДЗ.
б) Корень не лежит в указанном отрезке, так как
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
На ОДЗ уравнение равносильно
Корни не подходят по ОДЗ.
б) Корень лежит на указанном отрезке, так как .
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
Пусть , тогда уравнение примет вид . Решениями являются . Так как не подходит по ОДЗ, то является решением исходного уравнения.
При можно преобразовать уравнение:
Корень подходит по ОДЗ.
б) На указанном отрезке лежит , так как
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
Преобразуем уравнение
Оба корня подходят по ОДЗ.
б) Так как , то на отрезке лежит корень
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
Преобразуем уравнение:
Корень не подходит по ОДЗ.
б) Корень лежит в отрезке Так как , то также лежит в этом отрезке.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
Преобразуем уравнение на ОДЗ:
Корни не подходят по ОДЗ.
б) На отрезке лежит корень
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
На ОДЗ уравнение преобразуется:
Оба корня подходят по ОДЗ.
б) На отрезке лежит корень
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
На ОДЗ уравнение равносильно
Корень не подходит по ОДЗ.
б) Так как , , то корень лежит в отрезке
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
На ОДЗ уравнение равносильно
Корень не подходит по ОДЗ.
б) Корень лежит в отрезке
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
Решим уравнение
Корень не подходит по ОДЗ.
б) Корень лежит в отрезке
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) ОДЗ:
На ОДЗ уравнение равносильно
, следовательно,
Под ОДЗ подходят оба корня.
б) Оба корня лежат вне отрезка так как
а)
б)