Сфера и шар —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.14 Сфера и шар

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#18609

Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь поверхности шара вычисляется по площади

2 S = 4πR

Здесь $R$ — радиус шара.

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле

2 Sk = πR

Здесь $R$ — радиус шара.

Тогда искомая площадь равна

2 1 2 1 1 Sk = πR = 4 ⋅4πR = 4S = 4 ⋅24= 6

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#17745

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $R$ — радиус шара, тогда площадь большого круга равна

2 Sк =πR = 3

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле

2 S = 4πR

Тогда искомая площадь равна

S = 4πR2 = 4S = 4⋅3= 12 к

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#583

Объем шара равен $-36-- √ π.$ Чему будет равна площадь поверхности шара, если его радиус увеличить на $-6-- √ π?$

Показать ответ и решение

По формуле объема шара с радиусом $R$ имеем:

Vшара = 4πR3 = 3√6 ⇒ R = √3- 3 π π

Радиус нового шара равен

6 9 Rнов. = R + √π-= √-π

Тогда найдем площадь поверхности:

2 ( -9-)2 81 Sпов. = 4πRнов. = 4π √π = 4ππ =324

Ответ: 324

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#75972

Во сколько раз увеличится объём шара, если его радиус увеличить в 6 раз.

Показать ответ и решение

Объем шара $V = 4πR3, 3$ то есть объем пропорционален кубу радиуса. При увеличении радиуса в 6 раз объём увеличится в $63 = 216$ раз.

Ответ: 216

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2654

Точка $D$ — центр сферы, точка $A$ — центр круга $L,$ полученного в результате сечения этой сферы плоскостью. Известно, что точка $B$ лежит на $L,$ $AB ∥ CD,$ где $C$ — точка на сфере. При этом площадь $L$ равна $100,$ $-240- SABCD = π√3-,$ $∘ ∠ADB = 30 .$ Найдите площадь сферы.

Показать ответ и решение

Так как $AB ∥CD,$ точка $A$ – центр круга $L,$ $D$ — центр сферы, то $AD ⊥AB$ и $AD ⊥ DC.$ Тогда $ABCD$ — прямоугольная трапеция, площадь которой равна

1 R+ r SABCD = 2 ⋅(AB +CD )⋅AD = -2---⋅h

Здесь $R$ — радиус сферы, $r$ — радиус $L,$ $h= AD.$

Далее, зная площадь круга, найдем его радиус:

SL = πr2 = 100 ⇒ r = √10 π

$PIC$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAB.$ Так как $∠ADB = 30∘,$ то $AB = AD ⋅tg30∘,$ то есть

√ - √ - r = √h ⇒ h = r 3= 10√--3 3 π

Тогда имеем:

R + r 240 SABCD = --2--⋅h = -√-- ⇒ π 3

480 480√π- 10 6 ⇒ R = hπ√3-− r = 10√3-⋅π√3 − √π-= √π

Тогда искомая площадь равна

2 4π⋅36 Sсферы = 4πR = π =144

Ответ: 144

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2179

Евгений изучает сферу. Он решил расположить её так, чтобы её центр совпал с началом прямоугольной системы координат $Oxyz$ . Плоскости $Oxy$ , $Oyz$ и $Oxz$ пересекли рассматриваемую сферу по большим окружностям. Евгений заметил, что если разрезать сферу по этим окружностям, то она распадётся на несколько криволинейных треугольников. Количество треугольников, на которые распадётся сфера, он обозначил через $Γ$ . Но сферу он разрезать не стал.

Затем Евгений посчитал число точек на сфере, через которые прошли хотя бы две из этих окружностей, он назвал эти точки вершинами, а полученное число обозначил через $B$ . Напоследок он посчитал число криволинейных отрезков на сфере, соединяющих соседние вершины (каждый такой отрезок представляет собой четверть дуги одной из полученных больших окружностей) и обозначил его через $P$ . Найдите $χ = Γ + B − P$ .

Показать ответ и решение

При разрезании сфера распалась бы на $8$ треугольников, то есть $Γ = 8$ .

$PIC$

Назовём отрезки, соединяющие соседние вершины, рёбрами. Число вершин равно $6$ , то есть $B = 6$ . При этом каждая из трёх полученных больших окружностей состоит из четырёх рёбер (и вершин, но их мы уже посчитали), следовательно, $P = 12$ , тогда

χ = 8 + 6 − 12 = 2.

Замечание

Полученное в данной задаче число $χ$ называется эйлеровой характеристикой двумерной сферы. По аналогии можно рассматривать эйлеровы характеристики и у других поверхностей.

Ответ: 2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2050

Площадь поверхности шара равна $37π-$ . На расстоянии $21π$ от центра шара проведена плоскость. Найдите длину полученной в сечении окружности.

Показать ответ и решение

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле $S = 4πR2$ , то

2 37- 2 37-- 4πR = π ⇒ R = 4π2

$PIC$

По условию задачи $OQ = 12π$ . Рассмотрим $△OQT$ : он прямоугольный ( $∠OQT = 90 ∘$ ), гипотенуза $OT = R$ , катет $QT$ равен радиусу $r$ окружности сечения.

Таким образом, по теореме Пифагора

37 1 9 3 QT 2 = r2 = OT 2 − OQ2 = --2-− ---2 = -2- ⇒ r = -- 4π 4π π π

Таким образом, длина окружности сечения равна

3 C = 2πr = 2π ⋅ --= 6. π

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#766

Площадь поверхности шара равна 64. На расстоянии $-3-- 2√π$ от центра шара проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

Показать ответ и решение

Так как площадь поверхности сферы ищется по формуле $S = 4πR2,$ то

4πR2 = 64 ⇒ R2 = 64 4π

$PIC$

По условию задачи $OQ = 23√π.$ Рассмотрим $△OQT :$ он прямоугольный $(∠OQT = 90∘),$ гипотенуза $OT = R,$ катет $QT$ равен радиусу $r$ окружности сечения.