(1)Шапка Мономаха – одна из древнейших русских корон, которая в настоящее время хранится в Оружейной палате Московского Кремля. (2)Её в 1116 году подарил киевскому князю Владимиру Мономаху в знак дружбы и уважения император Константинополя. (3)Шапка Мономаха стала короной не сразу. (4)Сначала её передавали из рода в род как память о мудром князе Владимире, и выглядела она иначе, чем теперь. (5)Когда же решили венчать Мономаховой шапкой на царство, её превратили в корону.

1) которая хранится (предложение 1) – верно. Грамматическая основа придаточного предложения указана верно: «которая хранится».

2) подарил император (предложение 2) – верно. В состав грамматической основы входит подлежащее, выраженное именем существительным, и сказуемое, выраженное глаголом: «подарил император».

3) шапка стала (предложение 3) – неверно. Грамматическая основа выглядит иначе: «Шапка Мономаха стала короной». Составное именное сказуемое состоит из глагола-связки и имени существительного.

4) передавали память (предложение 4) – неверно. Перед нами односоставное неопределённо-личное предложение, где есть только сказуемое: «передавали». От него можем задать вопрос – как кого? как что? – «как память», это второстепенный член предложения. 

5) решили венчать (предложение 5) – верно. Грамматическая основа придаточного предложения определена верно: «решили венчать».