1) День давно погас, и ясный вечер тихо таял и переливался в ночь, а беседа наша всё продолжалась. – Между частями сложносочинённого предложения ставится запятая. – В предложении есть три грамматические основы: «день погас», «вечер таял и переливался» и «беседа продолжалась». Первая и вторая основы соединены сочинительным союзом «И», вторая и третья – сочинительным союзом «А» => перед нами сложносочинённое предложение (ССП). 

3) У Гагина была русская душа, правдивая, простая, но, к сожалению, без цепкости и внутреннего жара. – Вводное слово выделяется запятыми. – Вводное слово «к сожалению» относится к категории «чувства» и обособляется.

4) Витька Берестов был в классе самым маленьким, но старался ни в чём не отставать от товарищей: он и бегал быстрее многих, и по канату поднимался до самого потолка, и на перекладине подтягивался не хуже других. – Если вторая часть бессоюзного сложного предложения поясняет первую, то между частями предложения ставится двоеточие. – В предложении несколько грамматических основ: первая: «Витька Берестов был самым маленьким, но старался не отставать», вторая: «он и бегал, и поднимался, и подтягивался». Они не соединены союзом или союзным словом => это бессоюзное сложное предложение. Вторая часть раскрывает содержание первой (Витька Берестов был в классе самым маленьким, но старался ни в чём не отставать от товарищей – в чём именно это проявлялось? – он и бегал быстрее многих, и по канату поднимался до самого потолка, и на перекладине подтягивался не хуже других).