Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки 
лежат в вершинах клеток клетчатой бумаги. Может ли угол 
оказаться равным 
Источники:
Подсказка 1
Угол может располагаться вообще как угодно, неприятно. Давайте использовать линии сетки. Проведём из точки В луч горизонтальный и опустим на него перпендикуляры АЕ и СF, получим углы α = АВЕ и β = CBF (возможно, какой-то из них нулевой! если Е или F на одной линии с В). Что мы можем найти для этих углов?
Подсказка 2
Можем найти тангенс α и β. Теперь давайте вычислим тангенс АВС с помощью формулы тангенса суммы. Поразмышляйте над полученным выражением: что же нам даёт расположение точек в узлах сетки... давайте, не ленитесь, не хочу лишать Вас удовольствия
Подсказка 3
Оп-па, а это выражение (тангенс суммы) рационален! А тангенс 30 градусов нет. Развалили задачу
Проведем из точки 
луч по линии сетки:
Тогда угол 
будет равен сумме углов 
и 
(они могут быть и отрицательными). Тангенс такого угла равен отношению двух
целых чисел, то есть является рациональным числом. Тогда
также рациональное число. Но 
— число иррациональное.
Если один из углов 
и 
является прямым, то можно использовать луч, идущий перпендикулярно первому.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В неравнобедренном треугольнике 
провели высоту 
медиану 
и биссектрису 
Точки 
и 
— ортогональные
проекции вершин 
и 
на прямую 
Докажите, что точки 
и 
лежат на одной окружности.
Источники:
Подсказка 1
Давайте для начала попробуем продлить биссектрису до пересечения с описанной окружностью ABC в точке X. Что теперь можно вспомнить про эту точку?
Рассмотрим без ограничения общности 
Тогда точка 
лежит внутри треугольника 
, а точка 
вне
его.
Первое решение.
Построим описанную окружность треугольника 
, тогда продолжение биссектрисы 
пересечет ее в точке 
,
являющейся серединой дуги 
. Тогда 
, то есть медиана 
равнобедренного треугольника 
будет также и
высотой.
Так как 
, то получим, что 
. Так как 
аналогично получаем, что
.
Но углы 
равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
В итоге 
. Но из равенства углов 
следует, что точки 
лежат на одной
окружности.
Второе решение.
Обозначим через 
и 
точки пересечения прямых 
и 
и 
соответственно.
Поскольку 
— биссектриса и 
треугольники 
и 
— равнобедренные, и значит, 
и
В треугольнике 
точки 
и 
— середины сторон 
и 
поэтому 
— средняя линия, и значит, 
Аналогично, 
Следовательно, 
Возможны два случая:
a) 
Точки 
и 
лежат на одной окружности с диаметром 
поэтому четырёхугольник 
— вписанный.
Значит,
Следовательно, точки 
и 
лежат на одной окружности.
б) 
тогда точки 
и 
лежат на одной окружности с диаметром 
поэтому четырёхугольник 
—
вписанный. Значит,
Следовательно, точки 
и 
лежат на одной окружности.
