Вероятности на Иннополисе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Вероятности на Иннополисе

Тема Иннополис (Innopolis Open)

Вероятности на Иннополисе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела иннополис (innopolis open)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74911

Все марсиане делятся на одноглазых, двуглазых и трехглазых. Марсианин отдыхает только тогда, когда закрыт хотя бы один его глаз, причем каждую секунду каждый глаз может быть открыт с вероятностью 0.5 независимо от остальных.

Известно, что среди всех марсиан, у которых не меньше двух глаз, каждую секунду в среднем $80%$ отдыхают, а среди тех, у которых не больше двух глаз, каждую секунду отдыхают в среднем $2 3$ марсиан. Найдите долю двуглазых марсиан среди всех марсиан.

Источники: Иннополис-2022 (см. dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны условия на количество отдыхающих в каждую секунду. А можем ли мы посчитать вероятность того, что марсианин отдыхает в данную секунду? Если получится, то можно составить уравнения на данные из условия!

Показать ответ и решение

Пусть $n k$ — количество марсиан, у которых $k$ глаз $(k= 1,2,3).$ Такой марсианин каждую секунду отдыхает с вероятностью $1− 0.5k,$ поскольку события "марсианин отдыхает"и "все глаза марсианина открыты"образуют полную группу событий, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Сначала рассмотрим случай, когда $n2 ⁄= 0.$

Тогда вероятность того, что наугад выбранный марсианин, у которого не больше двух глаз, отдыхает, равна

2 (1− 0.5)n1+(1− 0.52)n2 n + 0.5n 3 = ------n1+-n2-------= 1− 0.5⋅-1n1+-n22

Аналогичная вероятность для марсиан, у которых не меньше двух глаз, равна

( ) ( ) 0.8= -1− 0.52-n2+-1−-0.53n3-= 1− 0.25 ⋅ n2+0.5n3 n2+ n3 n2+n3

Разделим числители и знаменатели полученных дробей на $n ⁄= 0 2$ и обозначим $x= n1,y = n3+-n2 n2 n2$ $($ тогда искомое отношение $n--+nn2+-n- 1 2 3$ преобразуется к виду $x-+1y+-1).$ Получим систему уравнений

( ( |{ 0.5x +0.25 = 1(x +1) |{ x= 0.5 1 6 |( 3 =⇒ |( 2 =⇒ x+-y+-1 = 13 0.125y+ 0.25= 0.2(y+1) y = 3

Теперь рассмотрим случай, когда $n2 = 0.$ Тогда доля отдыхающих марсиан среди тех, у кого не больше двух глаз, должна быть равна доле отдыхающих одноглазых марсиан, т.е. $0.5.$ Однако, согласно условию, эта доля равна $2 3 ⁄= 0.5$ — получили противоречие, значит, $n2 ⁄= 0.$