Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.
Источники:
Нам подходит любое из трех событий:
или
или
и
Здесь ,
.
Следовательно, вероятность события равна
Взять два красных блюдца с первой полки можно с вероятностью взять две красных чашки со второй полки можно с вероятностью Следовательно,
Тогда, записав аналогично вероятности и найдем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»?
Источники:
Пусть в нашей терминологии каждая мишень называется целью. Событие «стрелок поражает цель» равно событию «стрелок поражает мишень при первом выстреле ИЛИ стрелок поражает эту же мишень при втором выстреле». Следовательно, вероятность этого события равна Следовательно, — вероятность того, что цель не будет поражена.
Тогда вероятность того, что спустя все выстрелы стрелок поразит ровно одну мишень, равна
(вероятность поразить только первую мишень равна , только вторую — только третью — и т.д.; всего пять различных способов: пнннн, нпннн, ннпнн, нннпн, ннннп, где п — поразит, н — не поразит, вероятность каждого одинакова и равна ).
Вероятность поразить спустя все выстрелы ровно две мишени равна
(аналогично предыдущему рассуждению получаем 10 различных способов: ппннн, пнпнн, пннпн, пнннп, нппнн, нпнпн, нпннп, ннппн, ннпнп, нннпп, где п — поразит, н — не поразит).
Следовательно, искомое отношение этих вероятностей равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Аня наугад взяла из верхнего ящика два кубика, а Оля — два кубика из нижнего ящика. После этого Аня положила свои кубики в нижний ящик, а Оля — в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике по прежнему будет 10 белых и 15 черных кубиков.
Источники:
Для того, чтобы в верхнем ящике по прежнему осталось 10 белых и 15 черных кубиков, нам подходит одно из следующих событий:
«Аня взяла 1 белый и 1 черный кубик И Оля взяла 1 белый и 1 черный кубик»;
«Аня взяла 2 черных кубика И Оля взяла 2 черных кубика»;
«Аня взяла 2 белых кубика И Оля взяла 2 белых кубика».
Тогда вероятность искомого события равна и равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Ваня наугад взял из верхнего ящика два кубика, а Толя — два кубика из нижнего ящика. После этого Ваня положил свои кубики в нижний ящик, а Толя — в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков.
Источники:
Для того, чтобы в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков, нам подходит одно из следующих событий:
«Ваня взял 1 белый и 1 черный кубик, а Толя — 2 белых кубика»;
«Ваня взял 2 черных кубика, а Толя — 1 белый и 1 черный кубик».
Тогда вероятность искомого события равна и равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Ваня бросил игральный кубик, и у него выпало больше 2 очков. Петя бросил игральный кубик, и у него выпало меньше 6 очков. Найдите вероятность того, что у Пети выпало очков больше, чем у Вани.
Источники:
Если у Вани выпало больше 2 очков, то у него могло выпасть одно из чисел 3,4,5 или 6. Тогда у Пети могло выпасть одно из чисел 1,2,3,4 или 5.
Так как у Вани выпало очков меньше, чем у Пети, то нам подходят следующие пары «Ваня, Петя»: «3,4», «3,5» или «4,5». При этом общее количество пар равно произведению количества вариантов Вани на количество вариантов Пети.
Заметим, что вероятность выпадения любой пары «Ваня, Петя» равна Следовательно, вероятность искомого события равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В классе 26 учащихся, среди них три подружки — Оля, Аня и Юля. Класс случайным образом разбивают на две равные группы. Найдите вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе.
Источники:
Без ограничения общности можно считать, что Олю распределяют первой в какую-то группу, затем Аню, а затем Юлю. Тогда с вероятностью 1 Оля попадет в одну из двух групп. Тогда для Ани осталось 12 подходящих мест из 25, для Юли — 11 подходящих мест из 24. Следовательно, вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе, равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В группе туристов 15 человек, в том числе три друга — Юра, Боря и Егор. Группу случайным образом разбивают на три равные подгруппы. Найдите вероятность того, что все трое окажутся в разных подгруппах. Ответ округлите до сотых.
Источники:
Без ограничения общности можно считать, что Юру распределяют первым в какую-то подгруппу, затем Борю, а затем Егора. Тогда с вероятностью 1 Юра попадет в одну из трех подгрупп. Тогда для Бори осталось 10 подходящих мест из 14, для Егора — 5 подходящих мест из 13. Следовательно, вероятность того, что все три друга окажутся в разных подгруппах, равна
После округления до сотых получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?
Мы не знаем вероятность победы команды А ни в каком раунде (прямым текстом в условии об этом не говорится), но мы можем выстроить гипотетический порядок побед и поражений команды А, чтобы компенсировать этот недостаток информации.
Как, а главное, зачем это сделать?
Смотрим в условие: «Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее.» То есть в любом возможном исходе все 6 команд так или иначе встают в некоторую турнирную таблицу — от самой слабой команды до самой сильной.
Ещё раз, все команды разной силы, ничья невозможна, значит, можем выстроить следующие цепочки событий в тр̈eх благоприятных для нас ситуациях:
1. 4 раза подряд победа за А.
Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (А), (не А), (не А).
2. 5 раз подряд победа за А.
Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (не А), (А), (не А).
3. 6 раз подряд победа за А.
Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (не А), (не А), (А).
Теперь внимательно изучим каждый случай:
1. Как вы понимаете, мы не знаем точное ранжирование сил команд, но нам важно, чтобы команда А попала ровно на 3 место по силе, места 1, 2 и 6, 5, 4 могут быть заняты кем угодно. Что значит это "кем угодно"? Что нужно учесть все варианты расположения остальных 5 команд:
Это число исходов, где команда А третья из шести по силе.
Резонный вопрос: а что это за ? Ответ: мы не знаем, с какой именно командой будет играть команда А в четвёртом раунде, но мы точно знаем, что к его началу в викторине останутся лишь 3 команды, одна из которых А. Сила остальных двух неизвестна, поэтому приклеим двойку, чтобы учесть и тот исход, где одна команда более сильная, а другая менее, и тот, где ситуация обратна.
Теперь заметим самую хитрую мелочь: вероятность выиграть в этих 12 исходах у команды А нулевая. Почему?
Да потому что если команда А третья по силе, то как же она выступит в 4 раунде, когда осталась только она, команда сильнее её и команда сильнее их обеих? Очевидно, она проиграет в раунде с обеими более сильными командами.
Таким образом, вероятность победы в первом случае равна 0.
2. По аналогичному принципу ищем число исходов, где команда А вторая по силе:
Резонный вопрос: а что это за ? Ответ: мы не знаем, с какой именно командой будет играть команда А в четвёртом раунде, но мы точно знаем что к его началу в викторине останутся лишь 3 команды, одна из которых А. Сила остальных двух неизвестна, поэтому приклеим двойку, чтобы учесть и тот исход, где одна команда сильнее А, а другая слабее, и тот, где ситуация обратна.
Опять же вопрос: а какова вероятность, что с наличием одной более слабой и
одной более сильной команды в оппонентах команда А победит? С вероятностью
Либо она сыграет со слабой и победит, либо сыграет с сильной и проиграет.
Третьего не дано.
3. Ну и самый лёгкий случай: команда А — сильнейшая из шести. Число исходов, где команда А первая по силе:
Раз команда сильнейшая, то она победит в четвёртом раунде с вероятностью 1.
Заметим, что всего исходов при условии, что А выиграла первые три раунда:
Собер̈eм воедино кусочки ответа: