(1)Город Эфес в греческой Малой Азии славился храмом богини Артемиды – сооружением, считавшимся венцом искусства и причислявшимся древними к одному из чудес света. (2)В 356 году до нашей эры этот храм, подожжённый неким пастухом по имени Герострат, погиб в огне. (3)На суде преступник объяснил свой поступок желанием во что бы то ни стало войти в историю, прославиться. (4)Принимая решение лишить Герострата жизни, суд запретил произносить имя преступника: судьи хотели, чтобы память о поджигателе исчезла навеки. (5)Запрет нарушил греческий историк Феопомп, и от него последующие поколения узнали о Герострате, чьё имя стало характеристикой крайне тщеславного человека, готового ради сомнительной известности совершить преступление.

РЕШЕНИЕ:

1) город Эфес славился сооружением (предложение 1) – неверно. Грамматическая основа выглядит иначе: «город славился». Эфес – это приложение; «сооружением» – тоже часть распространенного приложения.

2) храм погиб (предложение 2) – верно. Грамматическая основа указана верно: «храм погиб». 

3) преступник объяснил (предложение 3) – верно. В состав грамматической основы входит подлежащее и сказуемое: «преступник объяснил». 

4) запретил произносить (предложение 4) – неверно. В грамматической основе есть подлежащее и сказуемое: «суд запретил произносить». 

5) имя стало (предложение 5) – неверно. Грамматическая основа в придаточном предложении: «имя стало характеристикой», где есть подлежащее и составное именное сказуемое.