Подсказка 1

Давайте для начала возведём в квадрат и посмотрим, что же у нас получается после приведения подобных. Во-первых, у нас получается симметричное уравнение относительно a_(n + 1) и a_n. А это значит, что то, что верно для a_(n - 1) верно и для a_(n + 1) относительно a_n. Что можно тогда заметить?

Подсказка 2

Мы можем заметить, что уравнению t^2 - (2a_n + 1)*t + a^2_n - a_n = 0 удовлетворяют и а_(n - 1), и a_(n + 1). Значит, по теореме Виета, a_(n - 1) + a_(n + 1) = 2a_n + 1. Теперь попробуйте найти первые несколько членов!

Подсказка 3

У нас получается такая прогрессия - 1,3,6,10….- это же значения суммы первых n натуральных чисел. Попробуйте это доказать, и тогда задача сведётся к тому, чтобы записать ответ.

Подсказка 1

В данной задаче самое главное и самое сложное это правильно записать то, что нам дано в условии. Давайте рассмотрим геометрическую прогрессию с первым членом b и знаменателем q. Вспомните формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии для дальнейшего решения.

Подсказка 2

По формуле суммы геометрической прогрессии сумма первых 15 членов будет равна b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1). Заметьте, что сумма обратных величин довольно похожа на сумму обычных, подумайте, возможно, получится ее посчитать похожим образом.

Подсказка 3

Обратные величины так же являются геометрической прогрессией, только с первым членом равным 1/b и знаменателем равным 1/q. Как тогда можно записать наше изначальное условие?

Подсказка 4

По условию мы получаем систему из двух уравнений: b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1) = 58 и (q⁻¹⁵ - 1) / b(q⁻¹ - 1) = 14,5. Для удобства работы умножим во втором уравнении числитель и знаменатель на -q¹⁵. Вспомните, что восьмой член прогрессии равен bq⁷. Как его можно найти с помощью полученных уравнений?

Подсказка 1

В таких задачах с прогрессиями и большим количеством неизвестных полезно представить прогрессию как a+d; ...; a+nd. Попробуйте записать данные из условия в таком виде

Подсказка 2

Верно, получилось 2 уравнения с неизвестными a, n и d. Как бы найти n, когда в двух равенствах 3 переменные?

Подсказка 3

Конечно! Попробуйте "выразить" в каждом уравнении а, а потом приравнять эти уравнения. Получится, что в каждом слагаемом есть множитель d, который можно сократить. Остаётся только аккуратно посчитать и найти n

Подсказка 1

Что это за странное равенство в условии - перепишем его в удобном виде, пусть x_n выражается только через x_n+1 и x_n-1!

Подсказка 2

Получаем, что x_n = (x_n-1 + x_n+1)/2, а это значит, что каждый член нашей последовательности - среднее арифметическое двух соседних! (Вспоминаем, что это значит!)