Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вписанная окружность треугольника 
с центром в точке 
касается сторон 
соответственно в точках
. Точки 
и 
симметричны вершине 
относительно прямых 
и 
соответственно. Окружности,
построенные на отрезках 
и 
как на диаметрах, вторично пересекаются в точке 
. Докажите, что 
лежит на прямой
.
Источники:
Подсказка 1
Хочется с самого начала понять, что за точка K нам дана. Заметим, что одна сторона у наших треугольников одинаковая на будущее. К тому же из условия вытекает, что какие-то углы прямые. Тогда чем же является точка K на нашей картинке?
Подсказка 2
Верно, точка K лежит на отрезке FE и является серединой, так как FIE равнобедренный. Теперь когда объекты на картинке так или иначе связаны, то можно вернуться к вопросу задачи. Что если посмотреть на четырёхугольник NFME. Чем в нём является K? Если же K будет лежать на NM, то что должно выполняться?
Подсказка 3
Верно, K середина диагонали и, если NFME будет параллелограммом, то K как раз будет лежать на NM. Осталось доказать это. Причём мы знаем, что NF =AF = AE = EM, как отрезки касательных из одной точки и симметрии. Остаётся только ввести стандартно углы треугольника, посчитать немного, и победа!
Проведем 
. Так как окружности построены на диаметрах,
Следовательно, точка 
— середина отрезка 
, так как 
и 
— высота равнобедренного треугольника
Проведем 
и 
. 
как отрезки касательных, и в силу симметрии получаем 
Обозначим углы 
Тогда 
. И 
. Следовательно, 
, и тогда 
Аналогичным счетом углов показываем, что 
и 
Следовательно, 
— параллелограмм. В нем 
— середина диагонали 
. Диагонали параллелограмма точкой пересечения
делятся пополам, поэтому 
— середина 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В неравнобедренном треугольнике 
точка 
— середина стороны 
— точка пересечения медиан, 
— центр вписанной
окружности. Известно, что 
. Докажите, что 
.
Источники:
Подсказка 1
Нужно как-то использовать условие про угол, но углы с серединами сторон обычно очень плохо считаются, нужно как-то использовать, что угол именно прямой...
Подсказка 2
Давайте вспомним, что внутренняя и внешняя биссектрисы одного угла перпендикулярны, это наталкивает нас на мысль рассмотреть...
Подсказка 3
Центр I_a вневписанной окружности! Ведь тогда мы получим, что KI параллельно BI_a.
Подсказка 4
Тогда KI - средняя линия, и мы получаем, что AI=II_a. Мы получили какое-то отношение длин на прямой AI_a. Какой ещё есть факт, связанный с отношениями на этой прямой?
Подсказка 5
Лемма о трезубце! Применив её, мы получим, что IW=WI_a, где W - середина дуги BC. Но это значит, что AI/IW=2/1. Это что-то напоминает... Вспомните, что мы ещё не использовали?
Подсказка 6
Мы ещё ничего не говорили, что точку M пересечения медиан, настало время ей воспользоваться, и тем, что медиана делится в отношении 2/1 точкой M, и задача решится!
Давайте поймем, как реализовать странное условие про угол. Вспомним про то, что внутренняя и внешняя биссектрисы одно и того же угла
перпендикулярны. Тогда давайте дополнительно отметим центр вневписанной окружности данного треугольника, касающейся стороны
Пусть это 
Значит,
Так как 
то 
— средняя линия треугольника 
По лемме о трезубце 
— середина 
следовательно,
Тогда
Пусть 
— середина стороны 
Тогда по свойству медианы:
Тогда
Так как 
— середина дуги 
не содержащей 
то
А это означает требуемое.
