Многочлены на Иннополисе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Многочлены на Иннополисе

Тема Иннополис (Innopolis Open)

Многочлены на Иннополисе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела иннополис (innopolis open)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68880

Пусть $a,b,c$ — взаимно простые в совокупности натуральные числа, и

( 2 2 2 n n n) Dn = a+ b+ c,a + b+ c ,a + b + c

Найдите все возможные значения $D , n$ где $n−$ натуральное число, кратное 3. Запись $(a,a ,a,...,a ) 1 2 3 k$ обозначает наибольший общий делитель целых чисел $a ,a,a ,...,a . 1 2 3 k$ Целые числа $a ,a,a ,...,a 1 2 3 k$ называются взаимно простыми в совокупности, если $(a ,a,a ,...,a )= 1. 1 2 3 k$

Источники: Иннополис-2023 (см. dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А давайте для начала попробуем ручками проверить различные a, b, c - чтобы понять, каким вообще может быть D.

Подсказка 2

Пупупу… а теперь посмотрим внимательно на условие. Каким свойством обладают скобки вида: (aⁿ + bⁿ + cⁿ)?

Подсказка 3

Да, эти скобки симметричны! Если поменять какие-то две переменные местами, то выражение не изменится. А теперь, учитывая, что мы получили какие-то значения D - попробуйте перейти к симметрическим многочленам. К какому противоречию мы придём?

Подсказка 4

Верно, мы придём к тому, что существует какое-то просто p, которое делит произведение abc. Теперь нужно аккуратно доказать, что в таком случае простое p делит каждое из чисел a, b, c! Тогда, мы докажем, что возможны только D = {1, 2, 3, 6}.

Подсказка 5

Остаётся только привести пример чисел a, b, c для каждого возможного D!

Показать ответ и решение

Пусть $σ,σ ,σ 1 2 3$ — элементарные симметрические многочлены и $n n n sn = a + b + c.$ Воспользуемся формулой Ньютона

sk = σ1sk−1− σ2sk−2+ σ3sk−3

Докажем, что $D ∈ {1,2,3,6}. n$ Предположим, что существуют такие взаимно простые в совокупности $a,b,c$ , что $D n$ отличен от $1,2,3,6.$ Докажем, что тогда $σ ,σ,σ 1 2 3$ имеют общий делитель, больший 1. В самом деле, из формул Ньютона следует, что при разложении $s n$ через $σ ,σ ,σ 1 2 3$ моном, не содержащий $σ 1$ и $σ, 2$ с точностью до знака имеет вид $3σ n3. 3$ Поэтому если $D n$ делит $s = σ 1 1$ и $D n$ делит $2 s2 = σ1 − 2σ2,$ то $Dn$ делит $σ1,2σ2,3σ3.$

При $Dn,$ отличном от $1,2,3,6$ у чисел $σ1,σ2,σ3$ есть общий делитель, больший 1. Пусть $p$ — простой множитель, входящий в этот делитель. Тогда $p$ делит $abc,$ откуда (без ограничения общности) $p$ делит a. Но тогда $p$ делит $(ab+ bc+ ca)$ и $p$ делит $bc,$ т.е. (без ограничения общности) $p$ делит $b.$ Наконец, из того, что $p$ делит $(a+b+ c),$ получаем, что $p$ делит $c.$ Значит, $(a,b,c)≥ p,$ но по условию $(a,b,c)= 1$ — противоречие.

Итак, $Dn ∈ {1,2,3,6}.$ Набор $(1,1,2)$ реализует $Dn = 2,$ набор $(1,1,1)$ — $Dn = 3,$ набор $(1,4,7)$ — $Dn = 6.$ Для $Dn = 1$ возьмем простое число $p >3$ и положим $a =b =1, c =p− 2.$ Тогда $a+ b+c =p$ и $p$ не делит $2 2 2 2 a +b + c =p − 4p+ 6,$ откуда $Dn = 1.$