Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Около окружности, радиус которой равен описан многоугольник, периметр которого равен Найдите его площадь.
Так как для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно где — полупериметр, а — радиус вписанной окружности, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна 25.
Пусть — боковая сторона треугольника.
Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Боковая сторона треугольника равна Найдите площадь этого треугольника.
Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Периметр треугольника равен а радиус вписанной окружности равен Найдите площадь этого треугольника.
Так как где — полупериметр, — радиус вписанной окружности, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна
Пусть — боковая сторона треугольника.
Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Площадь прямоугольника равна площадь параллелограмма равна Из условия следует, что Следовательно:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Боковая сторона треугольника равна Найдите площадь этого треугольника.
Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике — средняя линия параллельная стороне Найдите площадь трапеции если точка — середина отрезка и площадь треугольника равна 28.
Отметим точку — середину стороны Так как и — средние линии треугольника, то Площадь параллелограмма
Проведем тогда
Найдем площадь
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите площадь многоугольника (ёлочки), изображенной на координатной плоскости, если высота одной клетки равна 1.
Первое решение. Применим известную формулу Пика:
где — количество точек с целочисленными координатами внутри фигуры на координатной плоскости, а — количество точек с целочисленными координатами на контуре этой фигуры.
Второе решение — разбить «ёлочку» на треугольник, две трапеции и квадрат и найти их площади. Несложные вычисления приводят к ответу:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Меньшая сторона прямоугольника равна а угол между диагоналями равен Найдите площадь прямоугольника.
Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то также Пусть Тогда (так как угол между диагоналями имеет положительный коссинус, то это острый угол, следовательно, он лежит против меньшей стороны прямоугольника).
По теореме косинусов из
Площадь прямоугольника равна
Найдем из основного тригонометрического тождества
Выбираем , так как синус любого угла от до положительный. Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Периметр прямоугольника равен а площадь Найдите большую сторону прямоугольника.
Пусть в прямоугольнике стороны Пусть без ограничения общности Тогда
Числа и — корни квадратного уравнения
Его дискриминант равен
Следовательно,
Следовательно, большая сторона
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В ромбе площадь которого равна тангенс угла равен Найдите сторону ромба.
Так как
то можно принять
Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то следовательно, площадь ромба равна
По теореме Пифагора из
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Площадь ромба с углом и площадь равностороннего треугольника равны. Найдите отношение квадрата стороны ромба к квадрату стороны треугольника
Пусть сторона ромба равна а сторона треугольника равна Тогда
По условию
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Высота делит сторону ромба на отрезки и Найдите площадь ромба.
Так как то
Тогда по теореме Пифагора из находим
Тогда площадь ромба равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого перпендикулярны, равна Периметр четырехугольника, вершины которого — середины сторон четырехугольника равен Найдите большую диагональ четырехугольника
Так как середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма, то — параллелограмм, причем его стороны равны половинам диагоналей четырехугольника . Действительно, — средняя линия в следовательно, Доказательство для других сторон аналогично.
Пусть Тогда, так как получаем систему
Следовательно, большая диагональ равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагонали параллелограмма равны и а одна из сторон равна Найдите площадь параллелограмма.
Пусть дан параллелограмм такой, что Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
По теореме косинусов в
По основному тригонометрическому тождеству находим
Выбираем , так как синус любого угла от до положительный.
Тогда площадь параллелограмма равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите площадь трапеции с основаниями боковая сторона которой равны а угол равен
Проведем тогда трапеция разобьется на параллелограмм и треугольник Следовательно, Так как и — секущая, то как соответственные углы.
Тогда площадь трапеции равна сумме площадей параллелограмма и треугольника, следовательно, получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Стороны параллелограмма равны и Высота, опущенная на первую из этих сторон, равна Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Пусть — высота. Проведем высоту на сторону
Так как площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой эта высота проведена, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Средняя линия равнобедренной трапеции с площадью равна Боковая строна трапеции равна Найдите большее основание трапеции.
Проведем высоты и Они разбивают основание на отрезки как прямоугольные по катету и гипотенузе), — прямоугольник). Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, следовательно, равна Площадь трапеции равна
По теореме Пифагора из находим Следовательно, большее основание
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Угол между диагоналями выпуклого четырехугольника был равен а после поворота одной из диагоналей относительно точки пересечения диагоналей стал равен Найдите площадь полученного четырехугольника, если площадь исходного четырехугольника была равна
Пусть угол между диагоналями равен а угол между диагоналями равен Диагонали при этом остались прежними.
По формуле площади выпуклого четырехугольника
Тогда