Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Высоты и остроугольного треугольника пересекаются в точке Окружность с центром в точке проходит через точки и середину отрезка Окружность с центром в точке проходит через точки и середину отрезка Докажите, что
Прежде всего, обозначим середину отрезка через а окружность, проходящую через и — через
Поскольку для решения задачи достаточно доказать неравенство (и, аналогично,
Это неравенство следует из удивительного факта: расстояние от точки до прямой равно в точности Докажем его двумя способами: в обоих мы обнаружим на окружности ещё одну точку.
Решеение 1.
Пусть точка симметрична вершине относительно прямой Проверим,
что она лежит на окружности Для этого достаточно проверить, что В самом деле,
последнее равенство следует из вписанности четырехугольника
Таким образом, центр окружности должен лежать на серединном перпендикуляре к её хорде Значит, расстояние от до равно расстоянию между этим серединным перпендикуляром и прямой то есть между серединами отрезков и Оно в два раза меньпе, чем расстояние от до т. е. равно
Решение 2.
Отметим такую точку что Пусть тогда
С другой стороны, медиана прямоугольного треугольника равна и 3начит, Итак, и Следовательно, четырехугольник — равнобедренная трапеция, так что лежит на окружности т. е. на
Поскольку центр лежит на серединном перпендикуляре к расстояние от него до равно что и требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!