Обозначим через середину дуги описанной окружности треугольника не содержащей точку Тогда точка лежит на прямой и по лемме о трезубце точка равноудалена от точек и , поэтому лежит на отрезке и является центром описанной окружности треугольника . Следовательно,

Первое решение.

Из подобия треугольников и следует, что

Тогда и, значит, треугольники и подобны. Следовательно,

Аналогично и, значит, треугольники и подобны. Следовательно,

Таким образом,

Стало быть, точки и лежат на одной окружности.

Второе решение.

Пусть точка симметрична относительно серединного перпендикуляра х Очевидно, — равнобедренная трапеция, значит , лежат на одной окружности.

Докажем, что точка лежит на этой же окружности. Заметим, что точка лежит на поскольку равноудалена от точек и т. е. — диаметр окружности с центром и радиусом Из подобия треугольников и следуег, что

что равносильно равенству Из последнего равенства следует, что точки лежат на одной окружности.