Решение 1.

Сделаем поворот с центром в точке переводящий в и обозначим образ точки при этом повороте через Пусть — точка пересечения прямых и Из равенства дуг и легко следует равенство углов Тогда описанная окружность треугольника при этом повороте переходит в описанную окружность треугольника При этом точка очевидно, будет иметь одинаковые степени относительно этих двух окружностей.

Аналогично, рассмотрев поворот с центром в переводящий в и обозначив образ точки через и точку пересечения с через мы получим, что точка имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников и

Таким образом, вместо утверждения “точка лежит на прямой ”, эквивалентного тому, что точка имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников и достаточно доказать, что точка имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников и т.е. что точки и совпадают.

Заметим, что медиана треугольника лежит на прямой и Значит, — симедиана треугольника и тогда четырехугольник гармонический. Аналогично, четырехугольник также гармонический. Но тогда обозначив через точку пересечения прямых и мы получим равенство двойных отношений

откуда

Решение 2.

Пусть прямая пересекает описанную окружность треугольника в точках и а прямая пересекает описанную окружность треугольника в точках и Тогда

Кроме того,

следовательно, Значит треугольники и подобны и одинаково ориентированы.

Из этого, учитывая, что треугольники и также подобны, получаем

Аналогично

Из этих равенств и параллельности и следует, что

Докажем, что точка лежит на луче (и, аналогично, на луче ). Для этого сначала заметим, что хорда окружности пересекает во внутренних точках стороны и следовательно, один конец хорды лежит на дуге а другой — на дуге (здесь и далее рассматриваются дуги с концами в двух вершинах треугольника не содержащие третью вершину). Аналогично один из концов хорды лежит на дуге а другой — на дуге Это возможно, только если точки и лежат на дугах и соответственно. Из этого следует, что углы и треугольника острые, а также что точки лежат на прямой именно в таком порядке. Далее заметим, что треугольник ориентирован так же, как треугольник по доказанному выше; треугольник ориентирован так же, как треугольник поскольку точки и лежат на продолжениях сторон и за точки и соответственно; наконец, треугольник ориентирован так же, как треугольник поскольку Итак, треугольники и ориентированы одинаково, а это и означает, что точка лежит на луче По доказанному выше имеем

Следовательно, степени точки относительно описанных окружностей треугольников и равны.