Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На биссектрисе угла остроугольного треугольника выбрана точка Окружность построенная на как на диаметре, пересекает стороны и в точках и соответственно. Окружность, проходящая через вершину и касающаяся в точке вторично пересекает прямую в точке Окружность, проходящая через вершину и касающаяся в точке вторично пересекает прямую в точке Докажите, что
Решение 1.
Отметим сначала полезное свойство касающихся окружностей, а потом перейдём к решению задачи. Если секущая проходит через точку касания двух окружностей, то вписанные углы, опирающиеся на высекаемые ей дуги, равны. Действительно, поскольку вписанный угол равен углу между касательной и секущей, имеем равенство
Теперь перейдем к решению задачи. Пусть — основание биссектрисы угла Точки и симметричны относительно прямой поэтому и треугольники и равны. Из касания окружностей в точке имеем равенство поэтому четырёхугольник вписанный. Из касания окружностей в точке имеем равенство значит, четырёхугольник также вписанный. Отметим, что описанные окружности четырёхугольников и равны, поскольку они являются описанными окружностями равных треугольников и Хорды и этих окружностей лежат напротив углов и Поскольку равны углы, эти хорды также равны.
Решение 2.
Рассмотрим гомотетию с центром переводящую окружность, проходящую через вершину и касающуюся в точке в окружность Эта гомотетия переводит точку в точку а точка — в точку вторичного пересечения прямой, параллельной и проходящей через с окружностью Тогда точки лежат на одной прямой. Аналогично точки тоже лежат на одной прямой. Рассмотрим прямую С одной стороны, она является биссектрисой угла поскольку — середина дуги С другой стороны, угол опирается на диаметр, значит, он прямой и не только биссектриса, но и высота треугольника Тогда — серединный перпендикуляр к поэтому
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!