Пусть и — точки касания вписанной окружности треугольника со сторонами и coответственно, а точки и — центры вписанных окружностей треугольников и Известно, что касательная, параллельная хорде, проходит через середину дуги, которую стягивает хорда.

Из чего следует, что точка лежит на прямой а точка — на прямой По свойству касательной поэтому треугольники и подобны и имеет место равенство И по аналогичным соображениям Но а значит,

Далее заметим, что по лемме о трезубце для треугольников и получаем, что и соответственно. Подставляя в последнее равенство, получаем, что

откуда Но нам известно, что перпендикулярен биссектриссе угла Тогда из параллельности биссектриса перпендикулярна и