Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка — центр вневписанной окружности треугольника касающейся стороны в точке а точка диаметрально противоположна точке на описанной окружности этого треугольника. На отрезках выбраны точки соответственно таким образом, что где r — радиус вписанной окружности треугольника Докажите, что точки лежат на одной окружности.
Подсказка 1
У нас в условии есть центры вписанной и вневписанной окружностей - попробуем посчитать какие-то углы, найти равные…хочется еще равные отрезки как-то использовать, не так ли? Еще заметим, что точки Z, T у нас практически одинаковы по построению, поэтому будет досрочно сделать выводы для одной из них, а потом произнести волшебное «аналогично». Не понятно, как подобраться к углам требуемого «вписанного» четырехугольника, поэтому попробуем доказать, что серединные перпендикуляры к его стороны пересекаются в одной точке.
Подсказка 2
С помощью подсказки 1, учитывая, что угол АВА´ прямой, приходим к тому, что ZBIaY равнобедренная трапеция! Что мы тогда может сказать о серединной перпендикуляре к ZY? А к BIa? Серединный перпендикуляр к последнему отрезку несложно найти с помощью известной леммы, которая ищет такую точку W, что WB = WIa. Аналогичные действия проделывает и с точкой T)
Подсказка 3
Серединные перпендикуляры к ZY и YT проходят через середину дуги BC окружности (ABC) по лемме о Трезубце и в силу того, что эти серединные перпендикуляры совпадают с серединными перпендикулярами к BIa и CIa. Осталось лишь доказать, что серединный перпендикуляр к XY проходит через эту же точку.
Подсказка 4
Для этого отложим на продолжении отрезка XIa за Х такую точку I’, что XI’ = r и подумаем о треугольнике IaI’I.
Из условия сразу следует, что . Кроме этого, если — центр вписанной окружности, то . Из этих равенств сразу следует, что . Поскольку прямая — внешняя биссектриса угла , угол , и поэтому
Таким образом, и . Это значит, что четырехугольник — равнобедренная трапеция. Поэтому серединный перпендикуляр к отрезку совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку . Последний по лемме о трезубце проходит через середину дуги описанной окружности треугольника. Аналогично, через проходит и серединный перпендикуляр к отрезку
Осталось понять, почему через проходит серединный перпендикуляр к отрезку . Отметим на продолжении отрезка за точку такую точку , для которой . Иными словами, — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине . По уже упоминавшейся лемме о трезубце, точка — середина его гипотенузы . Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре совпадающем с серединным перпендикуляром к отрезку
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!