Теория чисел на Верченко —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Теория чисел на Верченко

Тема Межрегиональная им. И. Я. Верченко (криптография)

Теория чисел на Верченко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межрегиональная им. и. я. верченко (криптография)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68238

Найдите все восьмизначные числа $A = aa-...a-, 12 8$ $a ∈ {1,2,...,9} i$ такие, что $8⋅A+ a = B, 8$ где $B =b-b-...b 12 8$ , $b = 10 − a . i i$ Решение обоснуйте.

Источники: Верченко-2023 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы понимаем, как устроены цифры B относительно цифр A. Какое выражение с использованием A и B можно составить, которое не будет зависеть от конкретных цифр в числе А?

Подсказка 2

A+B! А дальше просто решается задачка, нахождением последней цифры числа A)

Показать ответ и решение

Заметим, что $A+ B =11...10 = 108−1⋅10 ◟-◝8◜ ◞ 9$ . Тогда из условия $8⋅A +a = B 8$ получим $9A+ a = 11 ...10 8 ◟ ◝◜8-◞$ . Следовательно, $a = 8 8$ . Разделим число $1◟1.◝◜..1◞0− 8 8$ на $9$ . Получим число $12345678.$