Тема . Региональный этап ВсОШ и олимпиада им. Эйлера
Регион 11 класс
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела региональный этап всош и олимпиада им. эйлера
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75448

Целые числа a,b,c  таковы, что значения квадратных трёхчленов bx2+ cx +a  и cx2+ax +b  при x= 1234  совпадают. Может ли первый трёхчлен при x= 1  принимать значение 2009  ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем. У нас выходит, что есть три переменных и три линейных уравнения на коэффициенты. Но правда ли стоит решать это и доказывать, что целых решений нет? Нельзя ли сделать это как-то более аккуратнее? К примеру, с помощью тождественных преобразований. А может как-нибудь выразить переменную а и дальше посмотреть на третье уравнение?

Подсказка 2

Действительно, можно выразить а = 1235b - 1234c, а значит можно подставить это в третье уравнение и посмотреть на некоторую делимость, потому как нам нужны именно целые решения.

Подсказка 3

Верно, если подставить значение а в третье уравнение, то у нас будет равенство 3(412b - 411c) = 2009. Вот только 2009 не делится на 3. Победа!

Показать ответ и решение

Предположим, что да. Подставим x= 1234  в оба трёхчлена, приравняем полученные значения и после тождественных преобразований получим

a= 1235b− 1234c

При x= 1  первый трёхчлен равен

a +b+ c= 1236b− 1233c= 3(412b− 411c) =2009

Но 2009  на 3  не делится. Пришли к противоречию.

Ответ: нет

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!