Задача №1565: Теорема синусов и теорема косинусов — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.24 Теорема синусов и теорема косинусов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1565

$ABCD$ — вписанный четырёхугольник, причём $AB- AD- CD = k = BC ,$ $AC = 5,$ $BD =3.$ Найдите $k,$ если $AB >CD.$

Показать ответ и решение

Обозначим $BC = x,$ $CD =y,$ $∠ABC = α,$ $∠BAD =β.$

$PIC$

Выразим $2 AC$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABC$ и $ACD :$

AC2 = x2+ k2y2− 2xkycosα

Так как $cos(π − ϕ)= − cosϕ,$ то

AC2 = k2x2+ y2+ 2kxycosα

Складывая два последних равенства с учётом того, что $AC = 5,$ получим:

50 = (k2+ 1)(x2 +y2) ⇒ x2+ y2 =--50- k2+ 1

Выразим $BD2$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABD$ и $BCD :$

2 2 2 22 BD = k x + ky − 2kxkycosβ BD2 = x2+ y2 +2xycosβ

Тогда

2 2 2 2 2 2 k(x + y )− 2k xycosβ =x +y +2xycosβ

Так как $x2+ y2 =--50-, k2+ 1$ то

2 2 (k-−2-1)⋅50-= 2(k2 +1)xycosβ ⇒ xycosβ = 25(k2-−-12) k + 1 (k + 1)

В итоге

50 50(k2 − 1) 50(k2+ 1)+ 50(k2− 1) BD2 = 9= k2-+1-+ (k2+-1)2 = -----(k2+-1)2------= = -100k2- ⇒ 9(k2+ 1)2 = 100k2 (k2+1)2

Обозначим $2 t =k :$

2 9(t+ 1) = 100t 9t2− 82t+9 = 0 D = 6724− 324= 6400= 802 82 ±80 t1,2 =--18-- t1 = 9 1 t2 = 9

Так как $AB > CD,$ то $k > 1,$ тогда $2 t= k > 1,$ откуда $t =9,$ следовательно, $k =3$ ( $k > 1$ ).

Ответ: 3

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse