Задача №1564: Теорема синусов и теорема косинусов — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.24 Теорема синусов и теорема косинусов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1564

$ABCD$ — вписанный четырёхугольник, причём $AB- AD- CD = 2 = BC ,$ $AC = 1.$ Найдите $BD.$

Показать ответ и решение

Обозначим $BC = x,$ $CD =y,$ $∠ABC = α,$ $∠BAD =β.$

$PIC$

Выразим $2 AC$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABC$ и $ACD :$

AC2 = x2+ 4y2− 4xycosα

Так как $cos(π − ϕ)= − cosϕ,$ то

AC2 = 4x2+ y2+ 4xycosα

Складывая два последних равенства с учётом того, что $AC = 1,$ получим:

2= 5(x2+ y2) ⇒ x2+ y2 = 0,4

Выразим $BD2$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABD$ и $BCD :$

BD2 = 4x2+ 4y2 − 8xycosβ 2 2 2 BD = x + y +2xycosβ

Тогда

2 2 2 2 4x + 4y − 8xycosβ = x + y + 2xycosβ

Так как $x2+ y2 = 0,4,$ то $xycosβ = 0,12.$

В итоге

BD2 = x2 +y2+ 2xycosβ = 0,4+ 2⋅0,12= 0,64 ⇒ BD = 0,8

Ответ: 0,8

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse