Выразим из уравнений

функции в явном виде:

Найдём их производные:

Приравняем производные друг к другу:

Будем искать целые решения уравнения. Если такие есть, то они являются делителями свободного члена.

подходит. Преобразуем уравнение, поделив на , получим

Но поэтому подходит только . Подставляя в любое из исходных выражений, находим . Значит координаты точки касания .

При

получаем

Подставляем в производную и находим тангенс угла касательной в начальный момент:

Пусть — середина ребра а точка - середина отрезка . Рассмотрим плоскость . Так как плоскость сечения параллельна медиане и проходит через точку , построим прямую в плоскости . Тогда - средняя линия в , а середина .

Теперь нам известны три точки сечения: . Рассмотрим основание пирамиды и посмотрим, как прямая пересекает стороны основания. Пусть эта прямая пересекает прямые в точках .

Из теоремы Менелая для треугольника получаем, что

Так как , то .

Далее замечаем, что . Тогда

Откуда .

Из подобия получаем

То есть .

Аналогично из подобия получаем

То есть .

Проведем , где - точка на . Тогда

И . Тогда из теоремы косинусов для треугольника получим .

Пусть - точка, в которой прямая пересекает ребро . Тогда из теоремы Менелая для и прямой получим:

Далее из теоремы Менелая для имеем:

В силу параллельности прямых и имеем , откуда . По теореме косинусов для имеем , то есть . Из теоремы Пифагора для треугольника получаем , откуда . По теореме косинусов для имеем , а значит . По теореме Пифагора для вычислим . Заметим, что для треугольника выполняется теорема Пифагора, то есть угол прямой. С помощью теоремы косинусов для треугольника вычислим . Теперь через теоремы косинусов для треугольников и вычислим длины отрезков . Далее по теореме Герона получаем .

Заметим, что . Значит, .

В обозначениях исходное неравенство примет вид

Функция непрерывна как композиция непрерывных функций, поэтому у неравенства не может быть единственное решение, так что нам подходит только случай Заметим, что никакое решение этого случая не может удовлетворять ведь тогда что невозможно.

Итак, мы переформулировали задачу и получили такую: обеспечить единственность решения уже для уравнения

Заметим, что функция чётная, поэтому и функция чётная, так что и правая часть полученного уравнения чётная. Следовательно, если уравнение имеет положительное решение, то оно имеет и отрицательное решение (и наоборот). Поэтому единственным решением может быть только Сначала подставим и найдём, при каких это значение является решением:

Теперь проверим, что при у уравнения

нет других решений, кроме Тут уже поможет метод оценки. Правая часть не меньше причём равенство достигается только при А вот левая часть не больше 18, потому что

так как

ведь по неравенству треугольника

Итак, при действительно единственное решение, при других значениях единственность невозможна.

Заметим сразу, что , то есть треугольник — остроугольный. А значит и . Поэтому точка лежит снаружи треугольника

Обозначим углы треугольника за По теореме косинусов найдем угол

Проведем . Тогда Поэтому, так как по условию,

Пусть — точка пересечения и . — биссектриса, медиана и высота в равнобедренном треугольнике , поэтому

Тогда из прямоугольного треугольника получаем

По теореме косинусов найдем угол

По формуле половинного угла

По основному тригонометрическому тождеству

И тогда

А из треугольника находим

Первое решение.

Площадь треугольника будет максимальной, когда высота из точки на основание будет максимальной длины. Это произойдет, когда касательная к параболе в точке будет параллельна

Координаты точек: . Тангенс наклона прямой, содержащей , равен Тангенс угла наклона касательной к графику в точке равен производной функции в этой точке, поэтому хотим найти такое, что

Итого, искомые координаты . Найдем длины сторон треугольника

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Второе решение.

Разрежем треугольник вертикальным отрезком , тогда

Пусть уравнение прямой . Тогда . Этот трёхчлен достигает максимум посередине между корнями, которые, очевидно, равны и Значит, максимальная длина отрезка получится, если взять , и тогда

Всего способов переставить 11 букв (из них по 3 У и по 2 А, Р, Б, З)

Чтобы слово было симметричным, на позиции должна стоять буква У (иначе не будет симметрии, так как оставшиеся буквы идут парами). На позициях с первой по пятую можно поставить способами любую последовательность букв. Тогда, чтобы была симметрия, буквы на оставшихся позициях определяются однозначно.

Не учитывая исходное слово, вероятность равна частному количества подходящих исходов (слово симметричное и отличается от исходного) и всех исходов (слово отличается от исходного), то есть

Построим график функции , а затем отразим относительно оси абцисс часть графика, лежащую в и четвертях. Раскроем внутренний модуль:

При получаем

При получаем

Найдём значения параметра , при которых прямая пересекает график в нечетном числе точек.

При пересечений нет, то есть нет решений у исходного уравнения.

При получаем решения.

При получаем решения.

При получаем решения.

При получаем решения.

Чтобы найти остаток при делении на достаточно знать остаток при делении на потому что

По индукции доказывается, что остатки при делении чисел Фибоначчи на повторяются с периодом

Поскольку делится на с остатком имеем

Введем систему координат с центром в точке Ось абсцисс направим к линии ворот.

Выразим время из первого уравнения системы и подставим во второе

Чтобы шайба была ниже условной линии для любого значения требуется выполнение условия

для любого Поскольку траектория вылетающих шайб должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории, то неравенство

должно выполняться для всех

Перепишем неравенство в более удобном виде и учтем, что выполнение этого неравенства возможно лишь при неположительном дискриминанте.

Подставляем м/c

Подставляем м, м/с

Теперь посчитаем сам

Значит, максимально возможное значение равно

Построим сечение пирамиды. В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит прямой Тогда будет средней линией треугольника следовательно, где — сторона основания пирамиды.

Плоскость содержит прямые и которые параллельны плоскости сечения, следовательно, по признаку плоскость параллельна плоскости сечения.

Через точку проведем прямую параллельную где принадлежит прямой Т.к. и значит, — параллелограмм, следовательно, Учитывая, что — середина а также можем сказать, что

Пусть — точка пересечения прямых и Плоскость сечения пересекает основание пирамиды по отрезку

Пусть — точка пересечения и Заметим, что углы И равны как вертикальные, а углы и как накрестлежащие при параллельных прямых и и секущей Следовательно, треугольники и подобны, поэтому

Т.к. является правильным шестиугольником, значит, Учитывая, что получаем, что Т.к. и углы и равны, аналогично, т.к. и углы и равны, а также следовательно, треугольники и равны, поэтому

Пусть точка — точка пересечения прямых и а точка — точка пересечения прямых и Из-за того, что — правильный шестиугольник, можно сделать вывод, что Т.к. треугольники и подобны, поэтому

В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит ребру — точка пересечения прямой с ребром параллельны друг другу, поэтому по теореме Фалеса имеем

В плоскости точка — точка пересечения прямых и Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей

Искомое сечение - это Для нахождения площади сечения используем формулу

где — площадь проекции сечения на плоскость основания, — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Найдем площадь проекции сечения на плоскость основания.

Проекцией является пятиугольник Площадь проекции сечения вычисляется по формуле

Обозначим расстояние от точки до плоскости сечения Т.к. точка принадлежащая плоскости сечения является серединой расстояние от точки до сечения тоже равно В треугольнике проведем высоту обозначим ее длину Тогда

Т.к. — правильный, Тогда найдем по теореме косинусов:

Используя различные формулы для нахождения площади треугольника имеем

Тогда

Окончательно имеем

Преобразуем второе уравнение системы следующим образом:

Из первого уравнения системы следует, что Из третьего уравнения системы

Введём функцию

Она является произведением строго возрастающих функций при Значит, тоже является строго возрастающей функцией при Значит, она имеет свойство:

Запишем преобразованное уравнение, используя обозначение

Следовательно, по свойству оно равносильно

Подставляя получившиеся выражение в первое уравнение системы, получим

Обозначим Тогда исходное уравнение будет иметь вид

Решениями последнего уравнения являются все и такие, что

Отсюда имеем

В системе построим графики функций

Из графиков понимаем, чтобы выполнялось ранее получившиеся двойное неравенство, точка должна лежать в закрашенной области.

Заметим, что если — целое число, то

будет целым, если целое. Поэтому нам остаётся отобрать только такие целые для которых будет только один такой целый что точка лежит в закрашенной зоне на графике:

При имеем решение

При имеем решение

При имеем решение

При имеем решение

При имеем решение

При имеем решение

Обозначим

Треугольники и имеют общую высоту из общей вершины следовательно, можем записать следующие соотношения для их площадей

(1)

Пусть — перпендикуляр из к прямой — перпендикуляр из к прямой Так как — биссектриса значит, точка равноудалена от прямых и Следовательно, Благодаря этому получаем

(2)

Из соотношений (?? ) и (?? ) следует, что

Аналогично получаем

Тогда

Значит, по теореме Менелая точки лежат на одной прямой. Т.е. и

По теореме косинусов найдём

Теперь найдём

Аналогично получаем и Обозначим Получим значения и из двух теорем косинусов

Запишем теорему косинусов в

Углы и равны как вертикальные. Запишем теорему косинусов в

Следовательно,

Число равновероятных исходов втыкания 3-х вилок в 7 розеток равно Понятно, что благоприятные исходы, в которых загорелась лампа, можно разбить на три случая: лампа питается напрямую через розетку, лампа питается через 1 удлинитель, лампа питается через 2 удлинителя. Рассмотрим каждый случай отдельно:

1) Лампа питается напрямую через розетку. Т.е. лампа включена в розетку, а другие 2 вилки — в любые 2 из оставшихся 6 разъёмов удлинителей. Значит, число таких благоприятный исходов

2) Лампа питается через 1 удлинитель. Т.е. лампа включена в один из 6 разъёмов удлинителей, соединённый с ней удлинитель включен в розетку, а другой — в любой из 5 оставшихся разъёмов удлинителей. Значит, число таких благоприятный исходов

3) Лампа питается через 2 удлинителя. Т.е. лампа включена в один из 6 разъёмов удлинителей, соединённый с ней удлинитель включен в один из 3 разъёмов другого удлинителя, а тот — в розетку. Значит, число таких благоприятный исходов

В итоге общее количество благоприятных исходов равно . Следовательно вероятность того, что лампа загорит, равна

Поскольку а то по теореме о промежуточном значении между и есть корень этого многочлена. значит между и у многочлена есть корень. значит между и у многочлена есть корень. Получили, что у многочлена есть три различных (потому что каждый находится в своем интервале) действительных корня.

Из теоремы Виета для данного многочлена имеем:

Тогда можно через теорему Виета для найти его коэффициенты:

Отсюда

а) Зона покрытия — часть сферы, лежащая внутри конуса. , где — высота сегмента. , здесь угол — угол между радиусом ОГ и линией ОА, соединяющий центр сферы с центром окружности, которая является линией пересечения сферы и конуса.

Тогда площадь равна

б) Пусть О — центр сферы, В — точка касания первой и второй окружности, А и их центры этих окружностей, — точки пересечения радиусов со сферой. Обозначим — угол между ОЗ и ОВ. Тогда

В правильной пирамиде О плоские углы при вершине равны двугранный угол при ребре О3 равен Опустив перпендикуляры из точек и на ребро О3 в точку H, треугольники О и О равны (по трем сторонам), т.к. две стороны равны а третья

Поскольку пирамида правильная, то центр указанного шара лежит в плоскости , где — высота пирамиды. Пусть

Обозначим Проведем — точка касания шара плоскости пусть радиус шара Поскольку то Треугольники и подобны, и или

По условию задачи Тогда

Точка — точка пересечения и тогда Поскольку

Пусть . Тогда Если то Угол между плоскостью и плоскостью основания равен Тогда

Пусть — отрезок перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость основания , и . Тогда . Если , то

— высота треугольника проведенная из вершины

Упростим второе уравнение системы:

I.

1) Система имеет 2 различных решения, если

Найдем эти решения:

2) Система имеет 3 различных решения, если

Найдем эти решения:

3) Система имеет 4 различных решения, если

Найдем эти решения:

II.

при имеем при имеем

1) Система имеет 2 различных решения, если

Найдем эти решения:

2) Система имеет 3 различных решения, если

Найдем эти решения:

3) Найдем значение параметра при котором прямая будет касаться графика гиперболы

Тогда при система будет иметь 4 решения:

Найдем четвертое решение:

4) При система будет иметь 5 различных решений:

5) Система имеет 6 различных решений при :

Возможны следующие случаи совпадения решений в I и II случаях:

1) в этом случае нет решений;

2) прямые и гипербола пересекаются в одной точке, но этот случай возможен при и в этом случае будет 7 решений.

пусть пусть — биссектриса треугольника

Точка является точкой пересечения серединного перпендикуляра к диагонали и биссектрисы угла в выпуклом четырехугольнике Следовательно, около этого четырехугольника можно описать окружность.

Действительно, опишем окружность около треугольника обозначим точку пересечения биссектрисы угла с окружностью через Тогда по свойству вписанных углов дуги и будут равны, хорды и тоже будут равны, треугольник будет равнобедренным, и серединный перпендикуляр к диагонали и биссектриса угла будут пересекаться в точке Следовательно,

Поскольку около четырехугольника можно описать окружность, то для его диагоналей верно равенство

Треугольник подобен , и , пусть поэтому

По теореме косинусов для треугольников и с учетом имеем

Для равнобедренного треугольника имеем

Если — имеющееся количество больших колб в лаборатории, то — имеющееся количество малых колб в лаборатории, Для события содержание соли в чаше находится в пределах от до включительно необходимо найти такое наименьшее что вероятность

Мысленно перенумеруем все имеющиеся в лаборатории колбы — присвоим им личные номера от 1 до 100. И тогда равновероятными исходами этого эксперимента будут упорядоченные тройки различных личных номеров последовательно выбираемых лаборантом колб: Общее количество таких исходов равно

Вычислим теперь количество благоприятных исходов для появления события Рассмотрим следующие случаи, определяемые размерными типами выбранных колб.

1.

Лаборант выбирает три большие колбы — тип [Б, Б, Б]. Тогда процентное содержание соли в чаше в результате описанных манипуляций лаборанта окажется равным величине:

Такой выбор благоприятствует появлению события Количество элементарных исходов данного типа, очевидно, равно

2.

Лаборант выбирает три маленькие колбы — тип [м, м, м]. Процентное содержание соли в чаше:

Такой выбор благоприятствует появлению события Количество исходов в этом случае равно

3.

Лаборант выбирает сначала две большие колбы, затем маленькую — тип [Б, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше:

Такой выбор не благоприятствует появлению события

4.

Лаборант выбирает последовательно большую, малую и большую колбы — тип [Б, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

Такой выбор благоприятствует появлению события Количество элементарных исходов в этом случае равно

5.

Лаборант выбирает сначала малую колбу, затем две большие колбы — тип [м, Б, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

Такой выбор не благоприятствует появлению события

6.

Лаборант выбирает сначала две малые колбы, затем большую колбу — тип [м, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

Такой выбор не благоприятствует появлению события

7.

Лаборант выбирает последовательно малую, большую и малую колбы — тип [м, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше:

Такой выбор благоприятствует появлению события Количество элементарных исходов в этом случае равно

8.

Лаборант выбирает сначала большую, затем две малые колбы — тип [Б, м, м]. Процентное содержание соли в чаше:

Такой выбор не благоприятствует появлению события .

Вычисляем вероятность события A (по формуле классической вероятности):

Отсюда имеем

И значит,

Выпишем ОДЗ:

Сделаем замену . Тогда

Получаем систему

Преобразовав первое уравнение, получим

Сделаем обратную замену

Решив квадратное уравнение относительно получим