Пусть а Тогда смежные с ними

Замечание. Точки и не подписаны на чертеже, потому что в решении их использовать не будем.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В силу вписанности и получаем

Но и смежные, поэтому

Следовательно, так что вписанный.

Отметим равные углы: как вписанные углы, отсюда следует, что Рассмотрим треугольники и У них равны две стороны и угол между этими сторонами. Следовательно, эти треугольники равны, тогда Тогда нужно доказать , что является частью высоты в равнобедренном треугольнике.

Рассмотрим вписанные четырехугольники и Из вписанности получаем и Рассмотрим треугольники и У них равны две стороны и угол между этими сторонами. Следовательно, эти треугольники равны, тогда Используя аналогичные рассуждения для треугольников и получаем что

В итоге получили, что точка равноудалена от вершин треугольника то есть является центром описанной окружности равнобедренного треугольника. Следовательно, является частью высоты треугольника то есть

Проведём через точку касательную к пересекающую отрезки и в точках и соответственно. Пусть и - точки, в которых касается сторон и соответственно. Заметим, что Прямые и параллельны как перпендикуляры к одному диаметру. Поэтому треугольники и а также и подобны с коэффициентом Тогда

откуда

Пусть — центр окружности Заметим, что

Прямоугольные треугольники и подобны, поскольку

Тогда

Из подобия треугольников и мы получаем

Поэтому

Продлим и до пересечения, пусть — это точка их пересечения.

Прямоугольные треугольники и равны, так как имеют равные катеты, потому что — середина, и равные острые углы, как вертикальные. Значит, Таким образом, — медиана прямоугольного треугольника и равна половине гипотенузе то есть 3.

Рассмотрим , откуда — параллелограмм. Заметим, что

• В , откуда он равносторонний и (в силу симметрии).
• Треугольник правильный, откуда для его центра : .
• Аналогично предыдущему .

Отсюда по двум сторонам и углу между ними , тогда . Поскольку является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, то и является медианой равнобедренного . Отсюда и

снова пользуясь правильностью . В итоге получаем .

Пусть По условию

Рассмотрим дугу описанной окружности Опирающийся на неё центральный угол будет в два раза больше вписанного угла Значит,

Перейдём к рассмотрению окружности, проходящей через точки и Можно найти величину дуги так как мы знаем вписанный угол , опирающийся на неё.

С другой стороны, можно представить в виде суммы дуг и

Угол между хордами и находится как

Тогда

Вычислим величину дуги Используя угол заключенный между хордами и , получим

Угол между секущими и находится как

Поэтому

Cложим последние два равенства и получим

Теперь выражаем через сумму дуг:

Но в самом начале мы показали, что Значит,

Тогда

Покажем, что является биссектрисой угла (это утверждение называется леммой Архимеда и при правильной формулировке может быть использовано на олимпиаде без доказательства). Тогда по свойству биссектрисы получим

______________________________________________________________________________________________________

Способ 1. Пусть общая касательная к окружностям пересекает прямую в точке . Пусть Отрезки и равны как отрезки касательных, проведенных из точки к меньшей окружности, следоваетельно, .

По теореме об угле между касательной и хордой верно, что . Наконец, по теореме о внешнем угле в треугольнике , .

_______________________________________________________________________________________________________

Способ 2. Рассмотрим гомотетию с центром в точке , переводящую меньшую окружность в большую. Пусть прямая пересекает большую окружность в точке , тогда прямая под действием гомотетии переходит в касательную к большей окружности, проведенную в точке . Таким образом, данная касательная паралельна , то есть является серединой меньшей дуги большей окружности.

_______________________________________________________________________________________________________

Способ 3. Пусть — середина меньшей дуги окружности большей окружности. Рассмотрим инверсию с центром в точке и радиусом . Точки и под действием инверсии останутся на месте, следовательно, прямая AB переходит в окружность, проходящую через точки , , и центр окружности инверсии — , то есть в большую окружность. Наконец, меньшая окружность переходит в окружность, которая касается образа большей окружности и образа прямой и гомотетична своему пробразу с центром в , то есть остается на месте, то есть точка перейдет в точку , а значит, прямая проходит через центр инверсии — .

Пусть и — точки пересечения биссетрисы угла с и соответственно, — центр . Угол между касательной к окружности и хордой равен вписанному углу, который опирается на откуда Кроме того, вписанные углы и опираются на хорду и поэтому равны. Тогда и треугольник равнобедренный. Поэтому биссектриса является также его медианой и высотой. Значит, , поскольку и перпендикулярны .

Прямоугольные треугольники и равны по катету и гипотенузе, откуда Из прямоугольного треугольника мы получаем, что и Тогда и по свойству биссектрисы

откуда