Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вы покупаете лампочки для своего предприятия в трёх магазинах: , и .
В магазине вы купили 600 лампочек. Известно, что среди лампочек, которые вы покупаете в
магазине , доля брака .
В магазине вы купили 300 лампочек. Известно, что среди лампочек, которые вы покупаете в
магазине , доля брака .
В магазине вы купили 100 лампочек. Известно, что среди лампочек, которые вы покупаете в
магазине , доля брака .
Задача. Вы взяли в руки какую-то конкретную лампочку, и она оказалась бракованной. Какова
вероятность, что эта лампочка была из магазина ?
Пусть - событие, что лампочка была из магазина . Пусть - событие, что лампочка бракована.
Нам требуется найти .
По формуле Байеса это равна
Ясно, что - это фактически условие задачи. Ясно, что .
А вот можно посчитать по формуле полной вероятности.
.
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Мы держим в руках монетку. С вероятностью она честная. С вероятностью это нечестная монетка, которая всегда выпадает орлом вверх. Мы подбросили монетку раз, и все разы она выпала орлом вверх. Ясно, что это наблюдение свидетельствует в пользу нечестности монетки. Какова вероятность того, что монетка нечестная?
Пусть событие - монетка нечестная. Событие - монетка выпала орлом вверх 20 раз подряд.
Тогда, понятное дело, нам по условию дано - это фактически и есть определение
нечестной монетки.
Тогда вычислим безусловные вероятности: нам тоже дано и .
можно посчитать по формуле полной вероятности:
Таким образом, по формуле Байеса имеем:
И нетрудно заметить, что в таком случае уже ну очень близко к единице. То есть в таком случае шанс на то, что монетка нечестная уже близок к 100 процентам.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать формулу Байеса. То есть, доказать, что для любых событий и таких что выполнено
Распишем правую часть формулы.
Ясно, что равна - мы просто расписали по определению условную вероятность
.
Далее, . Но это и есть левая часть формулы Байеса. Значит,
мы всё доказали.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Жюри состоит из трёх человек. Два эксперта и один профан. Им нужно принять верное решение по
какому-то вопросу. Первый эксперт принимает верное решение с вероятностью . Второй эксперт
принимает верное решение, независимо от другого эксперта и профана, с вероятностью . Третий -
профан, и просто копирует решение первого эксперта.
Решение жюри принимается большинством голосов.
Найти вероятность, с которой жюри выносит верное решение.
Поскольку профан всегда копирует решение первого эксперта, то всего у нас возможные исходы вот такие:
Устраивают нас только исходы ввв и внв.
Поскольку эксперты принимают решения независимо, то , .
Тогда вероятность принять верное решение будет равна
Комментарий. Ничего удивительного в таком ответе нет. Жюри принимает верное решение в том и только в том случае, если верное решение принимает первый эксперт. Потому что профан копирует его решение. Именно поэтому и получается такая вероятность.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Привести пример трёх событий , которые попарно независимы, но неверно, что они совместно независимы.
Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий,
зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета.
Пусть - событие, означающее выпадение грани, содержащей красный цвет, - событие,
означающее выпадение грани, содержащей синий цвет, - событие, означающее выпадение грани,
содержащей зелёный цвет.
Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий
равна:
Далее, так как только одна грань - четвёртая - содержит какие-то два цвета, то вероятность попарных пересечений:
Следовательно, события - попарно независимы.
Однако (есть только одна грань, содержащая все три цветы). Но при этом
. Следовательно, - не совместно независимы.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть монету бросают 10 раз. Какая вероятность того, что будет последовательность исходов оррорророр? (о - орёл, р - решка).
При каждом броске монеты вероятность орла равна , и вероятность решки тоже равна .
Поскольку все броски монеты совместно независимы, то .
Комментарий. Как мы видим, вероятность довольно случайной, и в каком-то смысле
непредсказуемой последовательности орлов и решек ровно такая же, как и вероятность
очень регулярной и предсказуемой последовательности из одних сплошных орлов. Это
говорит о том, что понятие вероятности не способно ухватить и полностью смоделировать
наше житейское представление о том, насколько то или иное событие действительно
случайно.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть монету бросают 10 раз. Какая вероятность того, что будет последовательность исходов оооооооооо? (10 орлов подряд).
При каждом броске монеты вероятность орла равна . Поскольку все броски монеты совместно независимы, то .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из колоды, в которой всего 52 карты, случайным образом вытягивается одна карта, а затем ещё одна, при этом первая карта НЕ ВОЗВРАЩАЕТСЯ в колоду. Будут ли события первая карта дама и вторая карта девятка независимы?
Ясно, что .
В свою очередь, можно посчитать по формуле полной вероятности. Обозначим за событие,
состоящее в том, что первая карта была девятка. Тогда
- поскольку первая карта дама, то на втором вытягивании
осталось 4 девятки из 51 карты.
И мы видим, что
Следовательно, события и - зависимы.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из колоды, в которой всего 52 карты, случайным образом вытягивается одна карта, а затем ещё одна, при этом первая карта НЕ ВОЗВРАЩАЕТСЯ в колоду. Будут ли события =первая карта дама и =вторая карта пики независимы?
Ясно, что .
В свою очередь, можно посчитать по формуле полной вероятности. Обозначим за событие,
состоящее в том, что первая карта была пики. Тогда
С другой стороны, тоже можно посчитать, разбив на 2 случая, в зависимости от того, была ли первая дама пиковой или нет:
И мы видим, что
Следовательно, события и - независимы.