Функции на МВ (Финашке) —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Функции на МВ (Финашке)

Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист)

Функции на МВ (Финашке)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63951

Найдите наименьшее значение функции

∘ --2------- ∘--2------- f(x)= 2x + 2x +13+ 2x + 8x+ 26.

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.7 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, эту задачу можно решить с помощью производной… Но давайте попробуем найти более красивое решение! Давайте подумаем, нам нужно найти минимальное значение суммы двух корней, а что мы знаем про корни и как тогда можно представить их?

Подсказка 2

Да, корни всегда положительны! Поэтому мы можем представить их как отрезок или же вектор на плоскости! То есть, корень – это длина нашего вектора! В таком случае, каких векторы можно взять(с какими координатами), чтобы длина первого равнялась первому корню, а длина второго равнялась второму корню?

Подсказка 3

Так, длина вектора – это корень из суммы квадратов его координат! Первое подкоренное выражение обращается в ноль при x=-3 и при x=2, а второе при x=1 и при x=-5. Поэтому первый вектор равен (x+3;2-x), а второй вектор: (1-x)(x+5). Что можно сказать про сумму этих векторов?

Подсказа 4

Да, сумма этих векторов равна другому вектору: (4; 7). А длина этого вектора равна √65. Но заметим, что сумма длин исходных векторов не меньше чем длина получившегося вектора! Осталось показать, что минимальное значение достигается и задача решена!

Показать ответ и решение

Рассмотрим векторы

⃗ ⃗ ⃗a= (x +3;2− x),b= (1− x;x+ 5) и⃗s= ⃗a+ b= (4;7)

Так как

∘ -2-------- ⃗ ∘ --2------- |⃗a|= 2x + 2x+ 13, |b|= 2x + 8x +26

то

f(x)= |⃗a|+|⃗b|≥|⃗a+⃗b|= |⃗s|= √65

Равенство $|⃗a|+|⃗b|= |⃗a +⃗b|$ выполняется, когда эти векторы сонаправлены; соответствующие значения $x$ является корнем уравнения $x1+−3x = 2−xx+5$ и равно $− 1311-$ .

Ответ:

$√65$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74605

Найдите наименьшее значение функции

f(x)=|x|+2|x − 1|+ 3|x− 2|+ ...+ 11|x− 10|

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на функцию f, что можно сказать про неё вне зависимости от того, как раскроются модули?

Подсказка 2

Верно, в любом случае f - линейная функция(просто из соображений того, что у нас нигде нет степени x большей единицы)! В таком случае, что можно сказать про её промежутки монотонности?

Подсказка 3

Да, сначала f убывает, а после этого возрастает! Тогда надо найти промежуток, на котором f убывает, а после этого промежутка возрастает.

Подсказка 4

Заметим, что если 6 < x < 7, то угловой коэффициент нашей прямой будет меньше 0, а если 7 < x < 8, то угловой коэффициент уже больше 0!

Показать ответ и решение

Заметим, что как бы ни раскрывались модули, $f(x)$ будет линейной функцией, которая имеет вид $f(x)= kx+ b, i i$ где коэффициенты зависят от промежутка на числовой прямой. Тогда разобьем числовую прямую на $12$ отрезков: $(−∞;0),(0;1),(1;2),...,(9;10),(10;+∞ ).$ Тогда $ki$ это угловой коэффициент на $i$ - том промежутке.

Заметим, что $− 66≤ k1 <k2 <k3 < ...< k10 < k11 = 66.$ Это значит, что $f(x)$ сначала убывает, а потом возрастает. Т.к. $k8 = 1+ 2+ 3+...+7− 8− ...− 11= −10$ при $x ∈(6;7),$ а $k9 = 1+ 2+3 +...+ 8− 9− 10 − 11= 6$ при $x∈ (7;8).$ Значит наименьшее значение функции достигается при $x= 7.$ Оно равно $f(7)=146.$

Ответ: 146

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#65460

Функция $f(x)$ такова, что $f(f(x))= x$ и $f(f(x+ 2)+ 2)= x$ для любого $x$ . Найдите $f(2017)$ , если $f(0)= 1$ .

Источники: Миссия выполнима - 2017, 11.6 (см. mission.fa.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Из равенства $f(x)= f(f(f(x+ 2)+2))=f(x+ 2)+2$ мы получаем формулу $f(x+ 2)= f(x)− 2$ . Кроме того, $f(1)= f(f(0))= 0$ . Но тогда $f(2017)=f(1)− 2 ⋅1008= −2016.$

Второе решение.

Докажем, что для любого целого $n≥ 0$ верно $f(n)=1 − n,$ откуда будет следовать $f(2017)= −2016.$

Шаг индукции: если $f(n)= 1− n,$ то при подстановке $x = n$ в равенство $f(f(x))= x$ получаем $f(1− n)= n$ и при подстановке $x =− n− 1$ в равенство $f(f(x +2)+ 2)= x$ получаем $f(n+ 2) =− n− 1 =1 − (n+ 2).$ Таким образом, переход доказан для всех чисел одинаковой чётности, поэтому нужно проверить выполнение предположения для базы индукции на чётных и на нечётных отдельно.