Тригонометрия на МВ (Финашке) —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тригонометрия на МВ (Финашке)

Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист)

Тригонометрия на МВ (Финашке)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81378

Решите уравнение

2x−-1 x-+3- arctg x+ 2 + arctg3x− 1 = x

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.5 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Арктангенс — обратная функция от тангенса, поэтому, ровно как мы нередко логарифмируем в уравнениях, мы можем взять тангенс от обеих частей и получить следствие (заметьте, что это будет неравносильный переход).

Подсказка 2

Если взять тангенс от обеих частей, то можно раскрыть тангенс от суммы арктангенсов. При этом это будет равно tg(x). Тогда слева у нас получится 7, а справа tg(x). Тогда понятно какие значения может принимать х. Остается понять, подходят ли эти значения или нет. Как можно понять, подходят ли? Мы можем посмотреть на то, почему переход взятия тангенса неравносилен и на какие случаи он разбивается.

Подсказка 3

Он неравносилен, так как если tgx = tgy, то либо x = y, либо x = y + pi, то есть, так как у нас все происходит на интервале от -pi до pi, то по сути, нам надо проверить, что при подстановке наших корней, знак левой и правой части будет одинаковый. Это уже чисто техническая задача, при решении которой нужно просто грубо оценивать arctg7.

Показать ответ и решение

Посчитаем

2x-− 1 -x+-3 tg(arctg x+ 2 +arctg3x − 1)=

2x−-1 x+3- = -x+22x−+1-3x−x1+3-= 1− x+2-⋅3x−1-

7x2+ 7 = -x2+1-= 7

Тогда для корня уравнения $tg(x)= 7$ . При этом так как $π π − 2 < arctg(t)< 2$ , получаем $− π < x< π$ .

Откуда получаем, что кандидатами в корни могут быть только $arctg 7$ и $arctg 7− π$ . Покажем, что они подходят: для этого достаточно проверить, что при подстановке этих значений левая часть примет тот же знак, что и правая. (Так как левая часть всегда равна $arctg 7$ или $arctg7− π$ )

Для $x= arctg7$ имеем

arctg 2x-− 1 =arctg(2−-5-)>0, x+ 2 x+ 2

так как $2> 5> --5- 3 x +2$ для $x= arctg7$ в силу того, что $arctg7> arctg√3 = π> 1 3$ .

А также

x-+3- 1 -10-- arctg3x− 1 = arctg(3 + 9x − 3)> 0

Для $x= arctg7− π$ имеем

2x − 1 5 arctg-x+-2 =arctg(2− x+-2)<0,

так как

2< --5- ⇐⇒ 1> x+ 2> 2π − π+ 2= 2− 3π >0 x+ 2 5 5

А также

arctg x-+3-= arctg(1 +-10-)< 0, 3x− 1 3 9x − 3

потому что

1-< --1-- ⇐⇒ x< 0,3 − 9x< 30 (x> π − π > −3) 30 3− 9x 3

Значит, оба этих значения — корни.

Ответ:

$arctg7$ и $arctg7 − π$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63946

Решите уравнение

sin(cosx) =sin (1+ sinx)

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.2 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Равенство синусов...когда оно возможно?

Подсказка 2

Когда аргументы синуса равны или в сумме дают π! Так и запишем: cos(x) = 1 + sin(x) + 2πk. Пока не совсем понятно, как же работать с k...попробуем его оценить! Часто в работе с тригонометрическими функциями используют какие-то неравенства, оценки - быть может, и сейчас мы сможем как-то оценить 2πk = 1 + sin(x) - cos(x), чтобы как-то найти k? С помощью чего можно это сделать(учитывая, что сами тригонометрические функции оцениваются нетрудно: |sin(x)| <= 1, |cos(x)| <= 1)

Подсказка 3

С помощью модулей! Помним правило для модуля суммы: |a+b|<= |a|+|b|. Пробуем им воспользоваться, какую тогда оценку на |2πk|получим?

Подсказка 4

|2πk|<= |sin(x)| + |1| + |cos(x)| <= 3 <= 2π, тогда несложно найти k) Остаётся решить несложное тригонометрическое уравнение и не забыть про второй случай, вытекающий из подсказки 2!

Показать ответ и решение

Для данного равенства возможны два случая.

1.

$cosx= 1+ sinx+ 2πk,k ∈Z;$ при этом

|2πk|=|1+sinx− cosx|≤1 +|sinx|+ |cosx|≤1+ 1+ 1≤ 2π

Отсюда $k= 0$ . Далее,

cosx =1+ sinx

cosx− sinx =1

По формуле вспомогательного аргумента

( π) √2- cos x+ 4 = 2

x= − π4 ± π4 +2πn,n∈ Z

2.

$cosx+ 1+ sinx= π+ 2πk,k ∈Z$

Поскольку

|cosx+ 1+ sinx|≤|cosx|+ 1+ |sin x|≤ 1+ 1+ 1< π ≤|π+ 2πk|,

то в этом случае решений нет.

Ответ:

$− π ± π+ 2πn,n ∈ℤ 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67538

Найдите значения дробей

-sin(α+-β+-γ)- A= sinα ⋅sinβ⋅sinγ

B = tgα+-tgβ-+tgγ, tgα ⋅tgβ ⋅tgγ

если числа $α,β$ и $γ$ таковы, что $A= 3B.$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как работать с синусом суммы трех углов. Быть может, преобразуем при помощи формул?

Подсказка 2

Разложим синус трех слагаемых как синус суммы двух, после чего раскроем про формуле! Теперь делить почленно не составит труда - сможем найти A!

Подсказка 3

A + 1 равно сумме попарных произведений котангенсов! А как это преобразовать в выражение с тангенсами, чтобы связать с B?

Подсказка 4

Преобразуйте A как сумму обратных попарных произведений тангенсов и выразите через B.

Показать ответ и решение

sin(α +β +γ)= sin((α +β)+ γ)= sin(α +β)cosγ+ cos(α +β)sin γ =

=sin αcosβ cosγ+ cosα sinβcosγ+ cosαcosβsinγ− sinα sinβsinγ

Тогда подставим в $A$ и поделим почленно:

A =ctgβctgγ +ctgαctgγ +ctgαctgβ− 1=

= --1---+ ---1--+ ---1-- − 1 = tgα-+tgβ+-tgγ− 1= B− 1 tgβtgγ tgαtgγ tgαtgβ tgαtgβtgγ

Значит,

B − 1= 3B

1 B = −2

Откуда

A= − 3 2

Ответ:

$A = − 3,B =− 1 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70335

Для чисел $x,y,z,t$ из интервала $(0;π ) 2$ выполняется равенство

cos2x+ cos2y +cos2z +cos2t =4(cosxcosycoszcost− sin xsinysinz sint)

Докажите, что сумма некоторых двух из чисел $x,y,z,t$ равна сумме двух остальных.

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Показать доказательство

Воспользуемся формулами произведения косинусов и произведения синусов

4cosxcosycoszcost= (2cosxcosy)(2cosz cost)=

= (cos(x− y)+ cos(x+ y))⋅(cos(z − t)+cos(z+ t));

4sinxsin ysinzsint= (2sinxsiny)(2sinzsint)=

= (cos(x− y)− cos(x+ y))⋅(cos(z − t)− cos(z+ t));

Вычитая второе из первого, получаем

4(cosxcosycoszcost− sinxsinysinzsint)= 2cos(x− y)⋅(z+ t)+ 2cos(x+ y)⋅cos(z− t)

Тогда исходное равенство примет вид

2cos(x+ y)⋅cos(x − y)+ 2cos(z +t)⋅cos(z − t)= 2cos(x− y)⋅(z+t)+ 2cos(x+y)⋅cos(z− t)

Сгруппируем

(cos(x+ y)− cos(z+ t))⋅(cos(x− y)− cos(z− t))= 0

[ cos(x+y)= cos(z+ t) cos(x− y)= cos(z− t)

Так как $x,y,z,t$ из интервала $(0;π), 2$ числа $x +y,z+ t$ из интервала $(0;π),$ на этом интервале косинус каждое значение принимает по одному разу, поэтому если равны косинусы, то равны и аргументы.