Обозначим Напомним, что частный случай неравенства Бернулли (при ) можно переписать в виде (при ).

Лемма 1. Для любого натурального п верны неравенства

Доказательство. Правое неравенство сразу следует из упомянутого неравенства Бернулли. Для доказательства левого, применяя то же неравенство, получаем

откуда

Лемма 2. Для любого натурального п верны неравенства

Доказательство. Поскольку достаточно доказать, что или

Применяя лемму получаем

что доказывает левое неравенство. Аналогично, для правого имеем Перейдём к решению задачи. Покажем, что число подходит. Для этого достаточно доказать, что при любом натуральном число с пятёркой в десятичной записи найдётся даже среди чисел Поскольку найдётся натуральное такое, что Покажем, что даже среди -х с конца цифр чисел встретится пятёрка, откуда и будет следовать требуемое. По лемме при каждом имеем это означает, что -я цифра при переходе от к либо не изменяется, либо увеличивается на (при этом переходит в ). С другой стороны, по той же лемме

это означает, что за таких переходов -я цифра обязана хотя бы раз изменить своё значение (на следующее по циклу). Значит, за переходов она примет все возможных значений, в частности, побывает и пятёркой.