Для простого и натурального обозначим через степень, в которой входит в разложение на простые множители. Заметим, что если , то

Предположим противное, обозначим Тогда все простые делители чисел вида не превосходят

Лемма: Пусть при некотором Тогда при всех

Доказательство: Обозначим тогда Заметим, что если В этой сумме все слагаемые, кроме первого, делятся на а первое делится лишь на но не на Значит и делится на но не на

Рассмотрим некоторое простое Ввиду леммы, если при некотором то существует число такое, что при всех натуральных Назовём такое простое число маленьким, все остальные простые числа, меньшие назовём большими. Так как маленьких простых конечное количество, существует натуральное большее любого числа вида где — маленькое.

Пусть теперь — большое простое число, а — такое число, что Тогда из леммы имеем а это означает, что Последний переход верен, так как не кратно

Рассмотрим теперь По доказанному, для любого большого простого Кроме того, поскольку то для любого маленького простого Поскольку все простые делители числа — либо большие, либо маленькие, отсюда следует, что что, очевидно, неверно. Противоречие.