Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли нетривиально (то есть так, чтобы оба сомножителя были нетривиальными группами)
разложить в прямое произведение следующие группы:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
a) Если бы можно было бы разложить в прямое произведение своих собственных подгрупп, то
, где и - какие-то нетривиальные подгруппы в , которые, в частности, по
критерию разложимости в прямое произведение, обязаны тривиально пересекаться. То есть
обязательно должно быть выполнено, что .
Однако, - циклическая группа, и поэтому любая её подгруппа циклическая. Следовательно, и
- циклические подгруппы. Но они обязаны быть бесконечными циклическими подгруппами, потому
что в нет элементов конечного порядка (кроме ), следовательно, и - собственные
нетривиальные циклические подгруппы в . То есть и изоморфны и имеют вид и
для каких-то и .
Но тогда и не могут тривиально пересекаться, поскольку .
Следовательно, так разложить нельзя.
b) Если бы можно было бы разложить в прямое произведение своих собственных подгрупп, то
, где и - какие-то нетривиальные подгруппы в , которые, в частности, по
критерию разложимости в прямое произведение, обязаны тривиально пересекаться. То есть
обязательно должно быть выполнено, что .
Итак, пусть и такие подгруппы. Пусть , .
Пусть имеет вид , пусть имеет вид . Тогда
Аналогично,
Тогда
, и аналогично,
Следовательно, . То есть, и не могут тривиально пересекаться,
Следовательно, так разложить нельзя.
c) Рассмотрим две такие подгруппы в :
Они нормальны в (потому что в абелевой группе все подгруппы нормальны), они очевидно тривиально пересекаются и, более того, любой элемент из представляется в виде элемента из плюс элемент из . Следовательно, по критерию разложимости
d) Рассмотрим две такие подгруппы в :
Они нормальны в (потому что в абелевой группе все подгруппы нормальны), они очевидно
тривиально пересекаются и, более того, любой элемент из представляется в виде элемента из
умножить на элемент из
- это по сути просто тригонометрическая форма комплексного числа.
Следовательно, по критерию разложимости
e) Если бы нетривиально раскладывалась в прямое произведение , то и
были бы собственными подгруппами в , тривиально пересекающимися и нормальными в . Но,
как мы знаем, нетривиальных нормальных подгрупп в не так-то много - а именно - такая
подгруппа только одна - это . Следовательно, у нас просто не наберется достаточно нормальных
подгрупп в , чтобы её разложить.
f) Нет, так как это группа порядка 2017, а 2017 - простое число. Но если бы нашлось разложение в
виде
То порядок группы равнялся бы произведению порядков подгрупп и . А такого не
может быть.
d) Да, например, по китайской теореме об остатках,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!