Пусть перекрашивается сначала строк, затем столбцов. После первого этапа перекрашивания каждый столбец будет содержать чёрных и белых клеток. Так как столбцов будут нетронуты, то суммарно в таких столбцах будет чёрных клеток. В каждом из перекрашенных столбцов чёрных клеток, значит суммарно в таких столбцах чёрных клеток. Итак, всего чёрных клеток Понятно, что графиком функции является парабола, ветви которой смотрят вниз. Значит наибольшее значение функции достигается в точке , и функция сначала возрастает до этой точки, а потом убывает. Но значит при любых целых выполнено при и при . Остаётся заметить, что .

Замечание. Анализ поведения функции может быть проведён с использованием производной. Из того факта, что наибольшее значение функции достигается в точке , не следует вывод о том, что функция (по целым ) должна достигать наибольшего значения в одной из ближайших к целых точек. Хотя это верно для нашей функции, в общем случае существует контрпример. Для верного вывода нужна ссылка на монотонность.