Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Несколько восьмиклассников решали задачи. Учитель не записал у себя в журнале, сколько всего было учеников, и сколько задач каждый из них решил. Зато, он помнит, что, с одной стороны, каждый ученик решил задач больше, чем пятая часть от того, что решили остальные. А с другой стороны, он знает, что каждый ученик решил задач меньше, чем треть от того, что решили остальные. Сколько могло быть восьмиклассников? Найдите все варианты и докажите, что других нет.
Источники:
Подсказка 1
Как мы знаем (или не знаем) залог успешного решения задачи- удобно переписать условие. Давайте обозначим за n- количество учеников, за a(i)- количество решенных задач i-ого ученика и S=a(1)+a(2)+...+a(n). Как выглядит условие задачи в этих обозначениях?
Подсказка 2
Для любого номера i от 1 до n выполнены неравенства: (S-a(i))/5<a(i)<(S-a(i))/3. Это равносильно тому, что S/6<a(i)<S/4. Нас не сильно интересуют сами значения a(i), ведь нам нужно найти n. Что можно сделать с этими двойными неравенствами (их n штук), чтобы a(i) исчезли?
Подсказка 3
Конечно, сложить! Тогда мы получим двойное неравенство: nS/6<S<nS/4. Поделив все на S, получим, что n/6<1<n/4. Произошла магия и осталось только условие на n. Я верю, что вы справитесь и найдете все n, которые удовлетворяют этим неравенствам!
Пусть восьмиклассников было 
Пусть, кроме этого, 
-й восьмиклассник (
) решил 
задач. По условию для любого 
выполнены неравенства 
и 
где 
— общее количество решённых задач,
причём каждая задача учтена столько раз, сколько восьмиклассников её решили. Неравенства равносильны системе двойных
неравенств
Сложив почленно все эти неравенства, получим
что после сокращения на 
равносильно условию 
Так как 
— число целое, то 
Ситуация с 
возможна,
например, если все ученики решили по 
задаче.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
