Задача №74062: Линейные отображения. Матрицы линейных отображений. — Каталог задач по Высшей математике

Тема . Линал и алгебра.

.07 Линейные отображения. Матрицы линейных отображений.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74062

В пространстве $𝒫n$ всех многочленов степени не выше $n$ найти ядро, базис ядра, образ, базис образа оператора:

1. $𝒜$ , действующего по правилу

𝒜 : p(x) ↦→ p(− x)

2. $ℒ$ , действующего по правилу

′ ℒ : p(x) ↦→ x ⋅p (x)

3. Дифференцирования $𝒟$ , действующего по правилу

′ 𝒟 : p(x) ↦→ p (x )

Показать ответ и решение

1. По определению $ker𝒜$ - это все такие многочлены, что

𝒜 (p) = 0( нулевому м ногочлену )

Пусть многочлен $p$ имеет вид

anxn + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0

Но $𝒜(p) = p(− x )$ , то есть

𝒜 (p) = (− 1)nanxn + (− 1)n−1an−1xn−1 + ...− a1x + a0

Следовательно,

𝒜(p) = 0 ⇔ (− 1)nanxn + (− 1)n−1an−1xn− 1 + ...− a1x + a0 = 0

Но ясно, что это возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты многочлена

(− 1)nanxn + (− 1)n−1an− 1xn −1 + ... − a1x+ a0

равны нулю. То есть сам многочлен

(− 1)na xn + (− 1)n−1a xn −1 + ... − a x+ a n n− 1 1 0

- нулевой.

Таким образом, в ядре $𝒜$ лежит только нулевой многочлен.

Следовательно, $dim ker𝒜 = 0$ , $dim Im 𝒜 = n+ 1 − dim ker𝒜 = n + 1$ , то есть в ядре $𝒜$ в качестве базиса нужно взять пустое множества (по определению это единственный базис нульмерного пространства), а в образе $𝒜$ в качестве базиса сгодится любой базис всего пространства $𝒫n$ , например

1,x,x2,...,xn−1,xn

2. Пусть многочлен $p$ имеет вид

anxn + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0

Но $ℒ(p) = xp′(x)$ , то есть

ℒ(p) = nanxn + (n − 1)an−1xn−1 + ...+ 2a2x2 + a1x

Следовательно,

ℒ(p) = 0 ⇔ na xn + (n − 1)a xn−1 + ...+ 2a x2 + a x = 0 n n−1 2 1

Но ясно, что это возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты многочлена

n n−1 2 nanx + (n − 1)an−1x + ...+ 2a2x + a1x

равны нулю.

То есть

an = an− 1 = ...= a2 = a1 = 0

Таким образом, в ядре $ℒ$ лежат те и только те многочлены

n n−1 anx + an−1x + ...+ a1x + a0

у которых все коэффициенты, кроме $a0$ , равны нулю, а $a0$ - любое. То есть это в точности константы.

Таким образом, $dim kerℒ = 1$ , $dim Im ℒ = n + 1 − dim kerℒ = n$ , то есть в ядре $ℒ$ в качестве базиса нужно взять многочлен, которым можно породить все константы, например, многочлен

1

а в образе $ℒ$ в качестве базиса сгодится любой базис, которым можно породить все многочлены вида

nanxn + (n − 1)an−1xn −1 + ...+ 2a2x2 + a1x

Например сгодится базис

x,x2,...,xn−1,xn

3. Пусть многочлен $p$ имеет вид

anxn + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0

Но $𝒟(p) = p′(x )$ , то есть

𝒟(p) = nanxn −1 + (n − 1)an−1xn−2 + ...+ 2a2x + a1

Следовательно,

𝒟(p) = 0 ⇔ na xn−1 + (n − 1)a xn− 2 + ...+ 2a x + a = 0 n n−1 2 1

Но ясно, что это возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты многочлена

n−1 n−2 nanx + (n− 1)an− 1x + ...+ 2a2x+ a1

равны нулю.

То есть

an = an− 1 = ...= a2 = a1 = 0

Таким образом, в ядре $𝒟$ лежат те и только те многочлены

n n−1 anx + an−1x + ...+ a1x + a0

у которых все коэффициенты, кроме $a0$ , равны нулю, а $a0$ - любое. То есть это в точности константы.

Таким образом, $dim ker𝒟 = 1$ , $dim Im 𝒟 = n + 1− dim ker 𝒟 = n$ , то есть в ядре $𝒟$ в качестве базиса нужно взять многочлен, которым можно породить все константы, например, многочлен

1

а в образе $𝒟$ в качестве базиса сгодится любой базис, которым можно породить все многочлены вида

n−1 n−2 nanx + (n− 1)an− 1x + ...+ 2a2x+ a1

Например сгодится базис

2 n−1 1,x,x ,...,x

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ