Задача №72836: Линейные отображения. Матрицы линейных отображений. — Каталог задач по Высшей математике

Тема . Линал и алгебра.

.07 Линейные отображения. Матрицы линейных отображений.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72836

Рассмотрим пространство $𝒫5$ многочленов степени не выше пятой и его базис $1,x,x2,x3,x4,x5$ . Найти матрицы следующих операторов относительно этого базиса:

1.: дифференцирования $-d dx$
2.: сдвига $f (x ) → f(x+ 1 )$
3.: $f (x) → f(− x )$

Показать ответ и решение

Если $f(x) ∈ ℝ5 [x]$ , то $f (x ) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5$ . и тогда в данном нам базисе $f(x)$ - это вектор $T (a0 a1 a2 a3 a4 a5)$ .
А сам базис записывается так:
$T T T T T T {e0 = (1 0 0 0 0 0) , e1 = (0 1 0 0 0 0) , e2 = (0 0 1 0 0 0) , e3 = (0 0 0 1 0 0) , e4 = (0 0 0 0 1 0) , e5 = (0 0 0 0 0 1) }$

Во всех пунктах оператор $𝒜$ будет отображать пространство $ℝ [x] 5$ в то же $ℝ [x] 5$ . То есть $𝒜 : ℝ5 [x ] → ℝ5 [x ]$ . Следовательно, матрицы $A$ этих операторов будут иметь размеры $6× 6$ (так как 6 - размерность $𝒫 5$ ).

Известно, что $j$ столбцом матрицы $A i$ будет вектор $𝒜 (e) j$ , где $e j$ - $j$ базисный вектор пространства. Используем это, чтобы решить задачу:

1.: Оператор $d dx$ дифференцирования:
Для $n = 1,2,...,5$ имеем $-d(en) = -dxn = nxn −1 = nen−1 dx dx$ .
А $d- dx(e0) = 0$ .
То есть получаем:
$d- dx(e0) = 0 = (0 0 0 0 0 0)$
$ddx(e1) = e0 = (1 0 0 0 0 0)$
$d- dx(e2) = 2e1 = (0 2 0 0 0 0)$
$ddx(e3) = 3e2 = (0 0 3 0 0 0)$
$d- dx(e4) = 4e3 = (0 0 0 4 0 0)$
$ddx(e5) = 5e4 = (0 0 0 0 5 0)$

Отсюда матрица $( ) 0 1 0 0 0 0 || 0 0 2 0 0 0|| || || || 0 0 0 3 0 0|| A1 = || 0 0 0 0 4 0|| | | |( 0 0 0 0 0 5|) 0 0 0 0 0 0$
2.: Оператор $𝒜2$ сдвига:
Для $n = 1,2,...,5$ имеем $n n n−1 n(n−1) n−2 n(n−1) 2 𝒜2(en) = (x + 1) = x + nx + 2 x + ...+ 2 x + nx + 1 = en + nen−1 + ...+ ne1 + e0$ .
А $𝒜2(e0) = 𝒜2(1) = 1 = e1$ .
То есть получаем:
$𝒜2 (e0) = e1$
$𝒜 (e ) = e + e 2 1 1 0$
$𝒜2 (e2) = e2 + 2e1 + e0$
$𝒜 (e ) = e + 3e + 3e + e 2 3 3 2 1 0$
$𝒜2 (e4) = e4 + 4e3 + 6e2 + 4e1 + e0$
$𝒜2 (e5) = e5 + 5e4 + 10e3 + 10e2 + 5e1 + e0$

Отсюда матрица $( ) | 1 1 1 1 1 1 | || 0 1 2 3 4 5 || || || A2 = | 0 0 1 3 6 10| || 0 0 0 1 4 10|| || 0 0 0 0 1 5 || ( ) 0 0 0 0 0 1$
3.: Оператор $𝒜3 = f(x) → f(− x)$ :
$( ( { xn, n - четное { en, n -ч етное 𝒜3 (en) = 𝒜2 (xn) = = ( − xn, n -неч ет ное ( − en, n -нечетное$ для всех $n = 0,1,2,3,4,5$

Отсюда матрица $( ) 1 0 0 0 0 0 || || || 0 − 1 0 0 0 0 || | 0 0 1 0 0 0 | A3 = || || || 0 0 0 − 1 0 0 || |( 0 0 0 0 1 0 |) 0 0 0 0 0 − 1$

Ответ.

1.: $( ) 0 1 0 0 0 0 | | || 0 0 2 0 0 0|| || 0 0 0 3 0 0|| || || || 0 0 0 0 4 0|| | 0 0 0 0 0 5| ( ) 0 0 0 0 0 0$
2.: $( ) 1 1 1 1 1 1 || || || 0 1 2 3 4 5|| | 0 0 1 3 6 10| || || || 0 0 0 1 4 10|| |( 0 0 0 0 1 5|) 0 0 0 0 0 1$
3.: $(| 1 0 0 0 0 0 )| || 0 − 1 0 0 0 0 || | | || 0 0 1 0 0 0 || || 0 0 0 − 1 0 0 || || || ( 0 0 0 0 1 0 ) 0 0 0 0 0 − 1$

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ