Последовательности и прогрессии на Ломоносове —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Последовательности и прогрессии на Ломоносове

Тема Ломоносов

Последовательности и прогрессии на Ломоносове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67942

Дана последовательность ${a}, n$ в которой $a = 19, 1$ а отношение каждого следующего элемента к предыдущему при всех целых $n≥ 2$ равно

an (n2+ 1)⋅n an−1 = (n−-1)2+-1

Найдите отношение 2023-го члена последовательности к сумме её первых 2022 членов.

Источники: Ломоносов-2023, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Напрямую искать это отношение не хочется. Давайте тогда начнем с aₙ, а там и придумаем. Вспомним, что у нас условие на отношение aₙ/aₙ₋₁. Как им хорошо можно воспользоваться?

Подсказка 2

А давайте перемножим эти условия для n, n-1, ..., 2, 1! Получится, что aₙ/a₁ = aₙ/aₙ₋₁ ⋅ aₙ₋₁}/aₙ₋₂} ⋅ ... ⋅ a₂/a₁ = (n²+1)n/((n-1)²+1) ⋅ ... ⋅ (2²+1)/(1+1) = (n²+1)⋅n!/2. У нас тут есть отношение aₙ к a₁, может тогда легче найти сумму/a₁, ведь отношение получившихся выражений как раз будет отношением aₙ/сумма? Давайте так и поступим)

Подсказка 3

Обозначим сумму первых n-1 члена за Sₙ₋₁. Даже зная aₙ/a₁ для любого n, не очень понятно, как хорошо свернуть сумму. А вдруг можно представить выражение (n²+1)⋅n!/2 как разность двух каких-то выражений, которые зависят от n и n-1? Например как какое-то bₙ - bₙ-₁. Тогда у нас выйдет, что Sₙ₋₁/a₁ будет bₙ₋-b₀, и зная эти b мы легко найдем то, что нам надо!

Подсказка 4

Пошаманим с aₙ/a₁: (n²+1)⋅n!/2 = 1/2 ⋅ (n(n+1) - (n-1)) ⋅ n! = n⋅(n+1)!/2 - (n-1)⋅n!/2. Вот как раз наши bшки! Обозначим тогда bₙ = n⋅(n+1)!/2. Остается найти сумму и посчитать отношение)

Показать ответ и решение

Найдем $an-, a1$ перемножив указанное в условии отношение для различных $n :$

an -an- an−-1 a2 (n2+-1)n-- ((n−-1)2-+1)(n-− 1) (22+-1)2- (n2+-1)n!- a1 =an−1 ⋅an− 2 ⋅⋅⋅a1 = (n − 1)2+1 ⋅ (n− 2)2+ 1 ⋅⋅⋅ 1+ 1 = 2

Представим его в виде разности:

2 an = (n-+-1)n!-= 1(n(n+ 1)− (n− 1))n!= n(n-+1)!− (n-− 1)n!=bn− bn−1, a1 2 2 2 2

где

bn = n(n+-1)! 2

Тогда отношение суммы первых $n$ членов к $a1$ равно

Sn a1+a2+-⋅⋅⋅+-an n(n+-1)! a1 = a1 = (b1 − b0)+(b2− b1)+⋅⋅⋅+(bn− bn−1)= bn− b0 = 2

Стало быть, ответ при $n= 2023$ равен

2 2 2 -an-= -an∕a1-= (n-+-1)n!= n-+-1= n-−-1+-2= n+ 1+ --2-= 2024-1-- Sn−1 Sn−1∕a1 (n − 1)n! n− 1 n− 1 n− 1 1011

Ответ:

$2024-1- 1011$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80458

Про последовательность ${a } n$ известно, что $a =1,5 1$ и $a = -1-- n n2− 1$ при $n ∈ℕ,n> 1$ . Существуют ли такие значения $n$ , что сумма первых $n$ членов этой последовательности отличается от 2,25 меньше, чем на 0,01? Если да, то найдите наименьшее из них.

Показать ответ и решение

Общая формула членов последовательности (кроме перво- го) может быть записана так $(n≥ 2)$ :

--1-- 1( -1-- --1-) an = n2− 1 = 2 n− 1 − n+ 1

В результате сумма первых $n$ членов последовательности, кроме первого, принимает вид:

[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1− 1 + 1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 2 3( 2 4 ) 3 ( 5 4) 6( 5 7 )] + ...+ n-1− 3 −n-1− 1 + n−12 − 1n + n−11 − n-1+1

После сокращений для суммы $n$ первых членов последовательности можно записать:

[ ] ( ) Sn = 1,5+ 1 1+ 1 −-1−-1-- = 2,25− 1 1+ --1- 2 2 n n+ 1 2 n n+ 1

Пусть $f(n)= 1(-1+ -1-) 2 n n+1$ . Тогда поскольку $f(n)$ убывает и

1( 1-- -1-) 1(-1- -1-) -1- f(100)= 2 100 +101 < 2 100 + 100 =100 1( 1- 1-) 1( 1-- -1-) 1-- f(99)= 2 99 + 100 > 2 100 +100 = 100

искомое значение $n$ равно $100.$

Ответ:

да, $n= 100$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#39768

Найдите первый член арифметической прогрессии

a1,a2,...

если $a13 = 0,$ а произведение чисел

a1 a2 a24 5 ,5 ,...,5

равно их среднему арифметическому.

Источники: Ломоносов-2012, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем понять, что нам даёт условие a_13=0, не просто так же его нам дали. Попробуйте вспомнить про характеристическое свойство арифметической прогрессии. Что тогда хорошее мы сразу поймём про члены прогрессии?

Подсказка 2

Точно, симметричные относительно a_13 члены будут в сумме давать 0. Отсюда мы сразу понимаем, чему на самом деле равно произведение чисел, данных в условии. Теперь поймём, а чем на самом деле является вторая последовательность из степеней 5?

Подсказка 3

Верно, это же нам самом деле геометрическая прогрессия. Обозначим тогда первое число за b, а знаменатель будет какой-то степенью пятёрки. Осталось только подставить это в последнее равенство, данное условием. То есть среднее арифметическое членов будет равно 5^(a_1)=b, откуда b сократится, и остаётся только решить оставшееся уравнение для q. Не забудьте, что q>0!

Показать ответ и решение

Пусть разность данной арифметической прогрессии равна $d.$ Тогда на основе $a =0 13$ получаем

a12+ a14 = a13− d +a13+ d= 0,...,a2+ a24 = a13− 11d+ a13 +11d= 0

Тогда получается

a1 a2 a24 a1+a2+...+a24 a1+0+...+0 5 ⋅5 ⋅...⋅5 = 5 =5

Так как показатели степеней являются арифметической прогрессией, то числа $5ai$ образуют геометрическую прогрессию. Пусть $b= 5a1,q = 5d > 0$ , тогда

∑ -2i4=15ai= b+-bq+-...+-bq23 = b-⋅(1+ q+ q2 +...+q23)= 5a1 = b 24 24 24

23 1+ q+...+q = 24

Функция в левой части монотонно возрастает при $q >0$ , поэтому может принимать значение $24$ не более, чем в одной точке. И легко видеть, что принимается это значение при $q =1.$